教学实录课圆锥曲线极坐标方程的应用

以新带旧螺旋上升——“圆锥曲线极坐标方程的应用”教学实录课在教学中，教师要充分利用教材中的潜在素材，拓宽学生的知识面，这就要求教师在实践中要为学生的发展留出充分的空间，改变教学方法，创造性地运用教材，充分挖掘知识的内涵，从多角度和多维度去考虑问题，让学生在联想中把知识有机的结合起来，提升学生综合能力和解决问题的能力．江西省宜丰中学（336300）熊星飞一、教学背景我们知道，解析几何的两个核心是：建立坐标系；在坐标系中建立曲线与方程的关系，从而用代数运算解决几何问题．而新课标对极坐标（方程）的定位是：讨论一些简单曲线的极坐标方程，学生明白极坐标系的好处，并能实现直角坐标（方程）与极坐标（方程）的相互转化．对于圆锥曲线在平面直角坐标系中的标准方程，不但要掌握其性质，而且要研究其性质的应用．对曲线的极坐标方程，只停留在掌握一些简单曲线的极坐方程以及与直角坐标（方程）转化的层面上，对于研究解析几何的一种平台，并没有真正使学生明白学习极坐标的好处，这是一种资源的浪费．怎样让学生领会用极坐标表示曲线方程的优越性，让这种平台真正发挥其应有的作用呢？本人在复习完直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线极坐标方程后，通过对圆锥曲线极坐标方程的探究应用，在自己的教学班级中再用一课时与学生探究圆锥曲线极坐标的应用，收到了很好的效果．下列就是圆锥曲线极坐标方程的应用的实录课，欢迎各位同仁提出宝贵意见．二、承前启后师：同学们，通过对极坐标的学习，我们知道用极坐标表示一个点，用极坐标表示一条曲线的方程，你们知道用极坐标表示圆锥曲线的优点吗？生：不知道师：这节课我们就来探讨圆锥曲线极坐标方程的应用——板书课题师：同学们，我们先回忆圆锥曲线统一的极坐标方程？生：1cosepe师：不错，请问p的几何意义是？生：焦点到对应准线的距离师：不错，此方程何时表示椭圆，双曲线、抛物线呢？众生：01e，方程表示椭圆；1e，方程表示双曲线；1e，方程表示抛物线师：此方程是在怎样建极坐标系得到的方程生：椭圆是以左焦点为极点，抛物线是以焦点为极点，而双曲线是以右焦点为极点，极轴方向与x轴同方向．师：椭圆还可以其他点为极点建立极坐标系吗？（大约2分钟后）生：也可以右焦点为极点．师：得到的极坐标方程还是一样吗？生：不一样师：椭圆以右焦点为极点的极坐标方程又是怎样的呢？怎样推导呢？生：与以左焦点为极点同样推导，得到1cosepe师：很好．想一想，与左焦点为极点的极坐标方程为何只有一个符号之差，它们之间是否有着某种联系？（思考）生：以右焦点为极点且极角为点的极径，相当于以左焦点为极点极角为点的极径，因此用替换1cosepe中的便得．（学生热烈鼓掌）生：还可以中心为极点建立极坐标系吗？师：刚刚这位同学想以中心为极点建坐标系，可以吗？生1：应该可以吧．师：其极坐标方程怎样呢？是否与以左焦点为极点的极坐标方程1cosepe有关系呢？（思考）生2：关系不大吧师：怎样写出极坐标方程呢？生3：我知道了师：有请这位同学生：可以直接把标准方程22221xyab转化为极坐标方程2222(cos)(sin)1ab（学生鼓掌）师：为什么呢？众生：因为以原点为极点，极轴与x轴同方向，可以用直角坐标与极坐标的转化公式直接转化即可．师：很好，其实与直角坐标系一样，同一曲线在坐标系中的位置不同，方程也不同，极坐标也不例外．以其他点为极点的圆锥曲线极坐标方程，请同学们课后去探讨，本节课我们只探讨圆锥曲线统一的极坐标方程的应用三、引入恰当练习，为课例作铺垫写出下列圆锥曲线统一的极坐标方程（1）22143xy，（2）24yx（3分钟后）生：（1）∵12e，23apcc，∴以左焦点为极点的极坐标方程为32cos；（2）∵1e，2p，∴以焦点为极点的极坐标方程为21cos；师：对于椭圆32cos，写出左右顶点的极坐标生：左顶点为(1,)，右顶点为(3,0)师：为什么呢？生：右顶点对应点的极角为0，因此只需令0，得3便右顶点的极径，即右顶点的极坐标为(3,0)，同理可得左顶点的极坐标为(1,)师：很好，椭圆上极角为3的点对应的极径呢？生：2师：很好，过左焦点，倾斜角为3的弦的长度呢？生：可以看作是极角为3的极径与极角为43的极径之和165师：很好，一般地，圆锥曲线1cosepe倾斜角为焦点弦的长为……生：222||1cosABepABe师：大家是否感觉到极坐标方程的优越性呢？（学生鼓掌）师：特别地，把0或代入2221cosepe得到的是……生：长轴的长，即2a的值．四、给出典型例题引导学生探究例题1：（08年海南卷）过椭圆22154xy的焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，求OAB的面积．师：下面请同学们展示一下自己的解法，同时请你说出你的思路和方法．生：我是把直线方程（点斜式）和椭圆方程联立，用弦长公式可以求出线段AB的长度作为三角形的底边，原点O到直线的距离作为三角形的高求OAB的面积．师：他说得好不好呀？生：好！师：他用的方法是平面解析几何中常用的方法——由弦长公式求圆锥曲线的弦长师：此方法适用于任意弦长的计算，可算为通性通法．但是此题中的弦过焦点，还有其他方法算弦长吗？生：我用的是焦半径公式1||AFaex，2||BFaex计算弦12||2()ABaexx，12xx的值由韦达定理可得，其它和上一位同学相同．师：好不好呀？生：好！师：相对于上一位同学来说，方法更进了一步，他直接使用焦半径公式，是一种不错的方法，但是请注意：它仅限于焦点弦长度的求法。请大家想一想是否还有其他方法呢？学生：（争先恐后）我是用极坐标方程中的焦点弦长公式222||1cosepABe求弦长，求原点O到直线的距离与上一位同学相同．师：很好，相对于上两位同学的方法又更简单些．你们求原点O到直线的距离用的是直角坐标系中点到直线的距离公式，是吗？生：是的师：好象你们都没有脱离直角坐标系，能否改用其他方法计算面积呢？生：我是用公式1||||sin2AOFSAFOFAFO计算一个三角形面积，同理计算另一个三角形面积，然后求和．师：式中的各量怎么求呢？生：建立极坐标系，因为点A对应极角，且1cos5，易求点A对应的极径||AF，||OF即为半焦距，sinAFO25（学生连声叫好）师：很好，这位同学讲得非常漂亮，这就是椭圆极坐标方程的应用，请同学们比较这程方法与直角坐标下的解析法，哪种方法好呢？生：用极坐标表示椭圆方程更简单师：为什么呢？生：可以直接用公式求圆锥曲线的焦半径（焦点弦）长．师：对，可以直接用公式求焦半径（焦点弦）长可以直接用公式，从而避免了繁琐的计算．五、给出新例巩固应用例题2：(2007重庆理改编)如图，中心在原点O的椭圆2213627xy，点F是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点1P，2P，3P，使0122331120PFPPFPPFP∠∠∠．证明：213111FPFPFP为定值，并求此定值．学生思考7分钟左右全班分小组讨论，教师巡视指导展示各组的方法师：请小组7选一个代表回答生：我们没有做出来师：你们用的什么方法生：我们设1FP所在直线方程式为：tan(3)yx，把它与椭圆2213627xy联立，消去y得到一元二次方程，用焦半径公式表示1||FP，因为一元二次方程有两解，不知用哪个解表示1||FP师：你们做得好呀，你们为什么不用k表示斜率，而改用tan表示呢？生：2FP和3FP所在直线的斜率可以分别表示为0tan(120)及0tan(120)师：很好呀．生：计算太复杂了，我们也不知用哪个解表示1||FP，我们没有做出来．生2：我有了．师：请你说说生：同样是这样设直线，假设第一条直线与椭圆交于1P、'1P；同理，第二条直线与椭圆交于2P、'2P；第三条直线与椭圆交于3P、'3P；我把'''221133111111FPFPFPFPFPFP求出来，然后除以2就可以呀众生：妙呀，很好师：很好，这样解决了小组7的同学在方程组中不知取哪个解计算1||FP的问题．但是，为什么把'''221133111111FPFPFPFPFPFP的值除以2就可以呢？众生：因为……他们是等价的呀，即：'''221313111111FPFPFPFPFPFP师：证明了相等吗？生：…………师：此题证明213111FPFPFP为定值，即证明213111FPFPFP的值与点1P的位置无关：你这种证明方法是以结论证结论，是不完美的证明方法．师：再考虑是否有其他方法？生3：我们小组用的极坐标方法师：说说你们的过程与方法生：以点F为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：92cos，设点1P对应的极角为，则点2P与3P对应的极角分别为0120、0120，1P、2P与3P的极径就分别是1||FP92cos、2||FP092cos(120)与3||FP092cos(120)，因此213111FPFPFP002cos2cos(120)2cos(120)999，而在三角函数的学习中，我们知道00coscos(120)cos(120)0，因此21311123FPFPFP为定值（全班同学热烈鼓掌）师：这个小组的同学用了极坐标分别表示1||FP、2||FP与3||FP，这样一个角度对应一个极径．就不会象以上那个小组的同学那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点．师：同时此例再次给我们一种方法……生：圆锥曲线的极坐标是：根据极角可知焦半径（极径）六、给出课堂练习，展示课堂效果(2005年全国高考理改编)已知点F为椭圆2212xy的左焦点.过点F的直线1l与椭圆交于P、Q两点，过F且与1l垂直的直线2l交椭圆于M、N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值.师：请大家各自完成（约5分钟后）生：做完了师：请说说你的过程与方法生：以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：2221cos2设直线1l的倾斜角，则直线2l的倾斜角为090，由极坐标系中焦点弦长公式知：22||11cos2PQ，20222||111cos(90)1sin22MN，师：为啥要表达出||PQ与||MN呢？生：用他们来表示四边形的面积1||||2SPQMN22111sincos242111sin2216即求2111sin2216的最大值与最小值师：最大值与最小值分别是多少？生：由三角知识易知：当sin21时，面积取得最小值169；当sin20时，面积取得最大值2（学生鼓掌）师：非常漂亮七、课堂提炼，精典小结师：此节课我们比较了极坐标系与直角坐标系下解圆锥曲线的问题方法的难易，大家对此有何感想？生：用极坐标方程解圆锥曲线问题更容易．师：你们以后遇到圆锥曲线问题会用哪种方法解题呢？生：极坐标方法师：为什么呢？生：因为它直接可以表示焦半径（焦点弦）的长度师：是不是所有的圆锥曲线问题都用极坐标方法做更简单呢？生：…………师：对于圆锥曲线，我们要具体问题具体分析，并不是所有的圆锥曲线问题，用极坐标方法就更简单．（教师板书）与焦半径（焦点弦）有关的问题可以考虑用极坐标方法．极坐标给求解解析几何问题提供了一种平台，希望同学们学有所用，在课外完善并整理好自己的解题思路．八、课后反馈练习1．（2003年希望杯竞赛题改编）经过椭圆22221(0)xyabab的焦点1F作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A，B两点，11||2||AFBF．（1）求椭圆的离心率e；（2）若15||4AB，求椭圆方程2．请同学们自己寻找一个可以用极坐标方程求解的圆锥曲线问题（或者自己编一个）．九、总结与反思1．本课设计的初衷圆锥曲线问题，历来是