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序数维基百科，自由的百科全书在日常交流中，序数是对应排列或次序的数，譬如以下句子中的“（第）一”、“（第）二”及“（第）三”：“这人一不会打字，二不懂速记，所以不可以做秘书”；“李世民是唐朝的第二任皇帝，而李治则是第三任”。对应数量的，则称为基数（或量数），例如以下句子中的“一”及“四”：“篮子里有一个橙、四个柑。”数学上把自然数进行了扩展，使人能够用比自然数更多的数来表现序数和基数的性质。广义的序数也称作超限序数。超限序数由数学家格奥尔格·康托尔于1897年引入，用来考虑无穷序列，并用来对具有序结构的无穷集进行分类。序数扩展了自然数可以用自然数来做两件事：描述一个集合的大小，或者描述序列中一个元素的位置。在有限的世界里这两个概念是一致的，当处理无限集合时人们不得不区分这两者。描述大小的做法把我们引向由康托尔发现的“量数”的概念，而描述位置的做法被推广到这里将要说明的序数的概念。量数这一概念关联于在其上没有特殊结构的集合，而序数却同一种称为良序的特殊集合有着密切的关联（这种关联如此密切，以至于一些数学家不去区分这两个概念）。简单说来，一个良序集合是一个全序集合（任意给定两个元素，可以定义一个大的、一个小的），并且满足不存在无穷降链（然而可以有无穷升链）。序数可以用来标定任何给定的良序集的元素（最小的元素标定为0，其后的标定为1，再后的标定为2，依此类推），同时也可以用来给出良序集的“长度”—没有用来标定良序集的最小的序数就是这个良序集的长度。这个“长度”也称为集合的序类型。任何一个序数都是通过先于它的所有序数构成的集合来定义：实际上，序数最常见的定义就是把每个序数等同于先于它的所有序数构成的集合。比如，序数42就是比它小的序数的序类型，也即，我们把从0（所有序数中最小的）到41（42最直接的先导）这些序数做成集合{0,1,2,…,41}，该集合就是序数42。相反的，任何下闭的序数集合—意思是说，任何比该集合中一个序数小的序数都在该集合中—就是（或者等同于）一个序数。目前为止，我们只考虑了有限的序数，也即自然数。但无限的序数也是存在的：最小的无限序数是ω，它是自然数（有限序数）的序类型，或者等同于自然数集（实际上，自然数集是良序的—正如所有的序数集合一样—并且自然数集也是下闭的，所以它等同于一个序数，也就我们定义的ω）。ω²的“火柴杆”图形式表示，每个竖杆与一个形如“ω·m+n”的序数相对应（这里m和n是自然数）。或许对序数更清晰的直觉可以通过检查最初的几个序数建立起来：如上所述，序数开始于自然数，0，1，2，3，4，5，…；然后在所有的自然数之后是第一个序数，ω，紧接其后的是ω+1，ω+2，ω+3，等等（加号的确切含义将会在后面给出，这里你只需要把它看作名字就可以了）。在这些之后就是ω·2（也即ω+ω），ω·2+1，ω·2+2，等等，紧接着是ω·3，然后是后来的ω·4。我们通过这种方式形成的序数集合（形如“ω·m+n”的序数，这里m和n是自然数）其后一定还有一个序数：即ω2。更进一步，我们可以得到ω3，ω4，等等，以及ωω和其后的ωω²，乃至其后很多的ε0（这只是给出了几个最小—可数—的序数）。我们可以按照如上方式无限的进行下去。[编辑]良序集定义良序集合是在其中所有子集都有一个最小元素的有序集合：这个等价于（至少在依赖选择公理在场下）说这个集合是全序的并且没有无限递减序列，有时它可能易于可视化。在实践中，良序的重要性是通过应用超限归纳法来证实，它在本质上声称从一个元素的前驱者传递到这个元素自身的任何性质必定对（给定良序集合的）所有元素为真。如果一个计算（计算机程序或游戏）的状态可以是良序的，即在每一个步骤都跟随着“更低”的步骤的方式下，则你可以确定这个计算会终止。现在我们不想区分两个良序集合，如果它们只是在“它们元素的标记”上不同，或者更加形式的说：如果我们可以对第一个集合的元素配对第二个集合的元素，使得如果在第一个集合中一个元素小于另一个元素，则在第二个集合中第一个元素的配对者也小于第二个元素的配对者，反之亦然。这种一一对应叫做序同构（或严格的递增函数）而这两个有序集合被称为序同构的，或相似的（明显的这是一个等价关系）。假定在两个有序集合之间存在一个序同构，这个序同构是唯一的：这使得考虑集合为本质上同一的，并寻求同构类型（类）的“规范”代表是很合理的。这完全是序数所提供的，并且它还提供任何良序集合的元素的规范标记（label）。所以我们本质上希望定义序数为良序集合的同构类：就是说，给“是序同构”的等价关系的等价类。但是这涉及一个技术上的困难，事实上这个等价类在集合论的通常的Zermelo-Fraenkel形式化中作为集合而言太大了。但是这不是个严重的困难。我们称序数是在这个类中任何集合的序类型。[编辑]以等价类来定义序数序数的最初定义，例如在《数学原理》中定义良序排序的序类型为类似（序同构）于这个良序排序的所有良序排序的集合：换句话说，一个序数真实的是良序集合的等价类。这个定义在ZF和相关的公理化集合论中必须抛弃，因为这些等价类对于形成一个集合而言太大了。但是这个定义，在类型论与蒯因的新基础集合论和有关系统中仍可使用（在这里它提供了对最大序数的布拉利-福尔蒂悖论的非常令人惊讶的可供替代的解决）。[编辑]序数的冯·诺伊曼定义胜过定义序数为良序集合的等价类，我们可以尝试定义它为（规范的）表现这个类的某个特定良序集合。因此我们希望以所有良序集合都同构于一个且只是一个序数的方式，构造序数为特殊的良序集合。冯·诺伊曼提议了精湛的定义，现在被作为了标准:定义每个序数为特殊的良序集合，也就是在它之前的所有序数的集合。形式的说:一个集合S是一个序数，当且仅当S是关于集合包含而全序的，并且所有S的元素也是S的子集。(这里的“集合包含”是子集关系的另一个名字。)这样的一个集合S自动的是关于集合包含而良序的。这依赖于良基公理:所有非空集合B都有一个元素b不相交于B。注意自然数是通过这个定义的序数。例如，2是4={0,1,2,3}的一个元素，而2等于{0,1}因而它是{0,1,2,3}的子集。以下是自然数的集合论定义0={}(空集)1={0}={{}}2={0,1}={{},{{}}}3={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}4={0,1,2,3}={{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}可见以此定义，自然数尽皆序数。事实上，所有有限序数都对应于某自然数。自然数集N={0,1,2,3,...}也是个序数，记作ω，它是最小的无限序数!可以证实通过超限归纳法所有良序集合都精确的同构于这些序数中的一个。进一步的，所有序数的元素也是序数自身。当你有两个序数S和T的时候，S是T的一个元素，当且仅当S是T的真子集，此外要么S是T的一个元素，要么T是S的一个元素，要么它们是相等的。所以所有的序数集合都是全序的。事实上:所有的序数集合都是良序的。这个重要结果普遍化了所有的自然数集合是良序的的事实，并允许我们不受限制的通过序数使用超限归纳法。另一个推论是所有序数S都是完全由小于S的序数作为元素的一个集合。这个陈述完全确定了所有序数的依据其他序数的集合理论结构。它被用于证明关于序数的很多其他有用的结果。其中的一个例子是在序数间的次序关系的重要特征:所有的序数集合都有一个上确界，这个序数是通过采用在这个集合中的所有序数的并集而获得的。另一个例子是所有序数的搜集不是集合的事实。因为所有序数只包含其他序数，可得出所有序数的搜集的的所有成员也是它的子集。所以，如果这个搜集是个集合，通过定义它自身将必定是个序数；那么它将是自身的成员，这矛盾于正规公理。（请参见布拉利-福尔蒂悖论）。所有序数的类被各异的叫做Ord、ON或∞。一个序数是有限的，当且仅当它的反序也是良序的，即当且仅当它的所有子集都有最大元素。假设良序原则，所有集合都可加上良序关系。利用超穷递归可证明所有良序集都与某序数同构（即存在双射使得ab⇔f(a)f(b)）。有限集合所有良序关系都是同构的，若有n个元素，对应序数就是n。无限集合有无限的良序关系，如自然数集配以024...135...对应的序数是ω+ω。注意，序数的元素必然是序数，而序数的子集亦必然是序数。两个序数是可以比较大小，即会存在单射f使得ab⇒f（a）f（b）。一个集合对应最小的序数，就是这集合的量数。[编辑]其他的定义方式还有序数定义的其他现代公式化。这些定义在本质等价于上面给出的定义。下面给出其中的一个。一个类S被称为传递性的，如果S的每个元素x是S的子集，也就是。序数接着被定义为其成员也是传递的传递集合。从它得出成员们自身也是序数。注意使用了正规公理（基础公理）来证实这些序数通过包含（子集）是良序的。[编辑]超限归纳法超限归纳法在任何良序集合中成立，但是它与序数的关系如此重要而值得在这里重申。从小于给定序数α的序数的集合传递来的传递到α自身的任何性质在所有序数上都为真。就是说，如果只要P(β)对所有βα为真P(α)就为真，则P(α)对所有α都为真。或者更加实际的说：为了证明性质P对所有序数α成立，你可以假定它对于所有βα的更小的序数们为已知的。[编辑]超限递归超限归纳不只能用来证明东西，而且还可以定义东西（这种定义通常被称为服从超限递归-我们使用超限归纳法证明这个结果是良好定义的）:形式陈述写起来太冗长，但是底线是为了定义在序数α上一个（类）函数，你可以假定它对所有βα更小的序数们已经定义了。你可以通过超限归纳法证明有一个且只有一个函数满足直到并包括α的递归公式。下面是通过在序数上超限归纳定义的一个例子（后面还会给出）:通过设F(α)是不在对于所有βα的F(β)的集合中的最小序数定义一个函数F。注意我们如何假定F(β)在真正定义F的过程中是已知的：这种外观上的悖论完全是超限归纳所有允许的。现在实际上F（0）没有意义因为没有β0，所以β0的所有F(β)的集合是空集，所以F（0）必定是0（所有序数中最小的），现在我们知道了F（0），那么F（1）有意义(它是不等于F（0）=0的最小序数)，以此类推（“以此类推”完全就是超限归纳）。这个例子是非常有趣的因为对于所有序数α有F(α)=α:而这可以通过超限归纳严格的证明。[编辑]后继与极限序数任何非零序数都有一个最小元素（就是零）。但它可以有或没有最大元素:42或ω+6有最大元素，而ω没有（没有最大自然数）。如果一个序数有最大元素α，则它是在α之后的下一个序数，它叫做后继序数，就是α的后继者，写做α+1。在序数的冯·诺伊曼定义中，α的后继者是，因为它的元素是α的那些元素和α自身。不是后继者的非零序数叫做极限序数。使用这个术语的一个理由是极限序数实际上是在拓扑意义上的所有更小序数的极限（参见序拓扑）。相当一般的说，在(αιγ)是一个序数序列(由极限γ标定的家族)的时候，并且如果我们假定(αι)是递增的(αιαι′只要ιι′)，或者至少非递减的，我们定义它的极限是集合{αι}的最小上界，就是说大于这个序列任何一项的最小序数（总是存在）。在这个意义上，极限序数是所有更小序数（由自身标定）的极限。因此，所有序数要么是零，要么是一个后继者（有一个良好定义的前驱者），要么是极限。这个区别是重要的，因为很多通过超限归纳的定义依赖于它。经常出现在通过超限归纳在所有序数上定义一个函数F的时候，你定义F（0），和F(α+1)，假定F(α)已定义了，并接着对极限序数δ定义F(δ)为对所有βδ的极限F(β)(要么在我们刚才解释了的序数极限的意义上，要么是某个其他极限概念，如果F不接受序数值的话)。所以，在这个定义中有价值的步骤是后继步骤，而不是极限序数。这种函数（特别是非递减和接受序数值的F）被称为是连续的。我们将看到序数加法、乘法和指数作为它们的第二个参数的函数是连续的。[编辑]标定序数类我们已经提到了任何良序集合都类似（序同构）于一个唯一的序数，或者换句话说，它的元素可以通过小于的序数以递增的方式标定。特别是这适用于