微积分在金融分析中的一般应用例举

数学之美2006年7月第1期微积分在金融分析中的一般应用例举经济学院金融学沈沉0511751数学与金融学的结合是一个重要的进步，它使金融学由单纯的定性分析走向定性与定量分析相结合，由规范研究转变为以实证研究为主，由理论阐述变为理论研究与实用研究并重，由金融模糊决策向精确化决策发展。金融交易的决策是一个充满风险的过程，其间有太多的不确定因素。因此人们一直在努力寻找一种可以量化处理不定因素、计量收益和尽可能规避风险的方法，而数学方法的介入为此提供了方便，使金融分析有了飞跃式的发展。函数和微积分是数理金融分析中最基础的数学工具，用微积分法研究边际问题、最优化问题等是非常方便且容易理解的。下面我们就来看几个简单的例子，看看这种结合是如何说明问题的。例一.某生产赛车的跨国公司由两个部门组成，上游部门生产引擎，部门组装赛车。该赛车需求曲线为P=20000-Q.已知上游部门的成本为CE(QE)=2QE2,则上游部门的边际成本为MCE=4QE,下游部门的成本为CA=8000Q,求引擎的划拨价格PE，赛车的产量Q，引擎的产量QE和赛车的价格PA.在国际投资中划拨价格是指从事跨国公司经营的企业系统内部买卖中间产品时所执行的价格，它应以中间产品的成本CE为基础，且同时满足各部门（上游、下游）利润最大化。在这个问题中，上游部门产量为QE,下游部门产量为Q,成本是产量的函数，因此它们的成本函数分别为CE(QE)和CA(Q),其中下游部门的生产函数为Q=(L,K,QE),K、L是下游部门投入的资本和劳动力。引擎的划拨价格为PE,下游部门的销售收入为R(Q).公司总利润最大的条件是两个部门各自达到利润最大化。下面我们就来研究假设不存在中间产品外部市场时划拨价格的制定条件。设该企业的总利润为π(Q),则:π(Q)=R(Q)-CE(QE)-CA(Q).这是一个二元函数，为使π(Q)最大，可对上式求偏导，令π(Q)对QE偏导为零，即最后一单位上游部门生产的引擎的边际成本等于它给该公司带来的额外收益。EQ=QR×EQQ－EEQC－QCA×EQQ=(QR－QCA)EQQ－EEQC数学之美2006年7月第1期根据经济意义可知，上式中QR为赛车生产的边际收益，即QR=MR.QCA为下游部门的边际成本,即QCA=MCA.EQQ为增加一个引擎生产能够带来的赛车的增量，定义为上游部门的边际产出，记作MP＇.(MR-MCA)是下游部门每增加一单位产量所带来的部门利润的增加。因此(MR-MCA)·MP＇为上游部门产量的年边际收益，记作NMRE.EEQC为上游部门的边际成本MCE.令EQ=0，则有：(MR-MCA)·MP＇-MCE=0NMRE=MCE设上游部门利润为πE,则：πE=PEQE-CE(QE)为使πE最大，对上式求偏导，令πE对QE的偏导数为零，即：EQE=PE-EEQC=0PE=EEQC=MCE由此我们就得出了划拨价格的制定条件：PE=MCE=NMRE=(MR-MCA)·MP＇即当生产引擎的边际成本等于其年边际收益时确定的价格就是划拨价格。推出了这个条件，上面这个看似复杂没有头绪的问题就变得很简单了。要求PE,首先要知道MR,MCA和MP＇.由于赛车与引擎得数量是对应的，所以MP＇=1,Q=QE.由需求函数可推知收益函数：R(Q)=QPA=Q(20000-Q)=20000Q-Q2=20000QE-QE2可知边际收益为MR=20000-2QE由CA=8000Q可知，MCA=8000.由CE(QE)=2QE2可知，MCE=4QE.因此：NMRE=20000-2QE-8000.令NMRE=MCE,得到：12000-2QE=4QEQE=Q=2000（台）PE=MCE=4×2000=8000（元）PA=20000-2000=18000（元）该问题得解。从以上问题我们看出，两部门的成本、产量和收益均为不定因素，它们之间又存在一定关联，单纯的定性分析是很难说清的。微分方法的运用，使该问题变得简单且一目了然。再来看一个积分方法应用的例子：例二.给定净投资率I(t)=140t43,且当t=0时初始资本存量是150.求资本函数学之美2006年7月第1期数K,即时间路径K(t).首先要弄清一个概念：净投资I指的是时间t内的资本存量构成K的变化率。由此我们知道，假如这个过程是连续的，则I(t)=dttdK)(=K＇(t).根据投资率可以估计资本存量的水平,资本存量就是净投资关于时间的积分：Kt=dttI)(=K(t)+c.这里c即为初始的资本存量K0.于是有：K=dtt43140=140dtt43=140(4774t)+c=8047t+c当t=0时,c=K0=150.K=8047t+150问题得解。更多的问题则要求我们同时使用微分和积分两种方法来解决。例三.在垄断条件下所销售的数量和市场价格是由需求函数决定的，设一个利益最大化的垄断者的需求函数是P=274-Q2.且MC=4+3Q.求消费者剩余。要研究这个问题，首先必须清楚消费者剩余的概念、实质以及所涉及的经济变量。我们就最简单的情况进行简要说明：需求函数P=f(Q)代表了在市场提供不同数量产品时消费者愿意接受的价格，如果市场均衡发生在(Q0,P0)点，那么愿意支付超过P0的消费者就会受益，S的面积即为消费者剩余。如图所示：用定积分可以很容易地求出消费者剩余：消费者剩余=0000)(QPQdQQf因此我们知道，要求出消费者剩余就要先知道均衡产量和价格。在上述问题中，由于是垄断市场，于是问题被简化了。Q0，P0要由垄断者达到利益最大化的条件求得。已知：P－274－Q2，于是，TR＝PQ＝（274－Q2）＝274Q－Q323274QdQdTRMR在MC＝MR处垄断者获得最大利润；F(Q)PP0SQ0Q数学之美2006年7月第1期274－3Q2＝4＋3Q，3（Q2＋Q－90）＝00)9)(10QQ（Q01＝9，Q02＝－10（无经济意义，舍）Q0＝9，P0＝193消费者剩余＝9029193)274(dQQ＝1737)21274(903QQ486以上三例只是微积分在金融分析中最最基本的应用，随着学习的深入，我们可以发现数学对于经济问题研究的重要作用。掌握好数学这个工具，会帮助我们更好地理解和分析各种经济现象，进而开辟出一个更广阔的天地。参考书目：1．《数理金融》，中国金融出版社，张元萍2．《经济类数学分析》，天津大学出版社，张效成3．《现代西方经济学教程》，南开大学出版社，魏埙等※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○