应用弹塑性力学Ch3-本构关系

Ch3本构关系应用弹塑性力学研究生课程本构关系：反应材料变形时的应力与应变之间的关系,是变形材料的固有特性,也称为物理关系。体力、面力应力位移应变平衡关系几何关系外变量内变量基本假设：1、材料特性与时间无关2、忽略热力学过程,材料特性与温度无关本构关系xxE单轴状态下：Hooke定律三向状态下（9个应力分量,9个应变分量：,,,,,,,,xyzxyyzzxyxzyxz,,,,,,,,xyzxyyzzxyxzyxz9个应力分量:9个应变分量：(,,,,,,,,)(,,,,,,,,)(,,,,,,,,)(,,,,,,,,)...(,,,,,,,,xxxyzxyyzzxyxzyxzyyxyzxyyzzxyxzyxzzzxyzxyyzzxyxzyxzxyxyxyzxyyzzxyxzyxzxzxzxyzxyyzzxyxzyx)z共9个关系式如果应力与应变是线性关系,则称为线性弹性材料,有广义Hooke定律：1212192122293239(,,,,,,,,)(,,,,,,,,)(,,,,,,,,)......1(,,...xxxyzxyyzzxyxzyxzyyxyzxyyzzxyxzyxzzzxyzxyyzzxyxzyxxyxzxyxzxyxzzxyxyxyCCCCCCCCC414249919299,,,,,,)...(,,,,,,,,)......zxyyzzxyxzyxzxzxzxyxyzxyyzzxyxzyxzxzxyxzCCCCCC张量形式表示ij=Cijklkl其中Cijkl称为四阶弹性张量,共81个分量。同样也取决于坐标系,服从四阶张量的坐标变换定律弹性张量的对称性根据应力张量和应变张量的对称性Cijkl=CjiklCijkl=Cijlk独立的分量也是36个。x=c11x+c12y+c13z+c14xy+c15yz+c16zxy=c21x+c22y+c23z+c24xy+c25yz+c26zxz=c31x+c32y+c33z+c34xy+c35yz+c36zxxy=c41x+c42y+c43z+c44xy+c45yz+c46zxyz=c51x+c52y+c53z+c54xy+c55yz+c56zxzx=c61x+c62y+c63z+c64xy+c65yz+c66zx系数cmn共36个,由于应力应变的对称性,仅有21个独立的常数。应变能存在,则弹性张量关于ij和kl也应对称Cijkl=Cklij独立的弹性常数共有21个两种表示方式之间的关系弹性系数c的下标1、2、3、4、5、6对应于张量C的指标11、22、33、12、23、31例如：c11＝C1111c12＝C1122c13＝C1133c14＝C1112弹性系数cmn也应具有对称性cmn＝cnm111213141516222324252633343536444546555666xxyyyyxyxyyzyzzxzxCCCCCCCCCCCCCCCsCCCyCCmC广义Hooke定律写成矩阵形式：具有一个弹性对称面的线弹性体：该面对称的两个方向具有相同的弹性关系,垂直于该面的方向,称为线弹性体的弹性主方向。独立的弹性常数降为13个。以Z轴为弹性主方向为例：xxyxzyxyyzzxzyz'''''''''''''''-xxyxzyxyyzzxzyzxxyxzyxyyzzxzyz'''''''''''''''xxyxzyxyyzzxzyzzyxoox’z’y’---xxyxzyxyyzzxzyz---xxyxzyxyyzzxzyz以(3-2)最后一个方程为例:''61'62'63'64''65''66''616263646566zxxyzxyyzzxzxxyzxyyzzxCCCCCCCCCCCC616263646566zxxyzxyyzzxCCCCCCxoy坐标系:x’o’y’坐标系:比较两式系数有:616263640CCCC类似的有:515253540CCCC1112131422232433344455566600000000xxyyyyxyxyyzyzzxzxCCCCCCCCCsCyCCmC弹性常数降为13个正交各向异性材料具有三个相互正交的弹性对称面。独立弹性常数减少到9个x=c11x+c12y+c13zy=c12x+c22y+c23zz=c13x+c23y+c33zxy=c44xyyz=c55yzzx=c66zx各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料11121322233355660000000000000xxyyyyxyxyyzyzzxzxCCCCCCsyCmC横观各向同性材料存在一个弹性对称轴,在垂直该轴的平面内材料各向同性将x,y轴互换时,材料弹性关系不变c11=c22,c13=c23,c55=c66将坐标系绕z轴旋转450,剪切应力应变关系不变,c44=(c11c12)x=c11x+c12y+c13zy=c12x+c11y+c13zz=c13x+c13y+c33zxy=(c11c12)xyyz=c55yzzx=c55zx独立的弹性常数减少到5个。例如：层状结构的岩体。111213221211444411130000000000002xxyyyyxyxyyzyzzxzxCCCCCCsCyCCCm各向同性弹性体将x轴、y轴和z轴分别与三个主应变方向一致,此时有：0xyyzzx由式（3-2）有：414243515253616263xyxyzyzxyzzxxyzCCCCCCCCC将坐标系绕着y轴旋转180°,得新坐标系Ox’y’z’:yxoz’y’zo’x’此时有：''''''''',,,,xyxyyzyzzxzxxxyyzz此时有：''41'42'43'''51'52'53'''61'62'63'xyxyzyzxyzzxxyzCCCCCCCCC414243515253616263xyxyzyzxyzzxxyzCCCCCCCCC414243515253616263xyxyzyzxyzzxxyzCCCCCCCCC比较上下两式：0xyyzzx应力主轴与应变主轴重合此时有：111213212223313233xxyzyxyzzxyzCCCCCCCCC由各向同性的性质：112233122113313223CCCaCCCCCCb123xyzxyzxyzabbbabbba用主应力表示：112312123231232()()()()()()babbabbab1122332221232,abb112233222222xxxyxyyyyzyzzzzxzx22ijkkijijijij用主应力表示：用应力分量表示：用张分量表示：112233222将式左右分别相加122332()m3(32)m式中m=(x+y+z)/3是平均应力。K=(3+2μ)/3是体积变形模量。=x+y+z是体积应变mK在线弹性范围内：偏应力只产生偏应变,即只产生形状改变,体积应力只产生体应变,即只产生体积改变。3122()332232xxxmxxmxxxsesese偏应力与偏应变关系同理可得：2yyse2zzse张量形式表示为:2ijijse3mmK322(32)322(32)322(32)111xxmyymzzmyzyzxzxzxyxy弹性常数之间的关系222xxyyzzxyxyyzyzzxzx单轴拉伸代入上面的方程得到00000000xij(32)2(32)0xxyzxyzxzxy根据简单拉伸实验的结果,有0xxyzxyzxzxyEE泊松比Young氏弹性摸量比较上面两式,有)(201020E(32)E0或者)1(2E(1)(12)E根据实验有所以Gyx0000000xyij0xyzyzxz考虑纯剪情况代入方程得到根据实验有xyxy0xyzyzxzxyxyG所以各向同性体的广义Hooke定律可以写成正应力只产生正应变；剪应力只产生剪应变。每个应变等于各个应力单独作用时产生的应变之和。yEEzxx21ExyxyzEEyxy21EyzyzxEEyzz21EzxzxijkkijijEEv1200020002000000000000000000xxyyzzxyxyyzyzzxzxGGGGGG(1)2(1)(12)2(1)EEGGD将应力用应变表示：常简记为：一维情况一细长杆,长度L,横截面积S,两端受拉力P作用,伸长量为L,外力功为由于应力x=P/S,x=L/L,上式可写成0Pd(L)LWx0WSLdxx3.2弹性应变能