应用弹塑性力学习题解答

应用弹塑性力学习题解答张宏编写西北工业大学出版社目录第二章习题答案..............................................................................1第三章习题答案..............................................................................5第四章习题答案..............................................................................9第五章习题答案............................................................................25第六章习题答案............................................................................36第七章习题答案............................................................................48第八章习题答案............................................................................53第九章习题答案............................................................................56第十章习题答案............................................................................58第十一章习题答案........................................................................61-1-第二章习题答案2.6设某点应力张量ij的分量值已知，求作用在过此点平面axbyczd上的应力矢量(,,)nnxnynzpppp，并求该应力矢量的法向分量n。解该平面的法线方向的方向余弦为222ladmbdncddabc，，，而应力矢量的三个分量满足关系nxxxyxznyxyyyznzxzyzzplmnplmnplmn而法向分量n满足关系nnxnynxplpmpn最后结果为22222222222nxxxyxznyxyyyznxxzyzznxyzxyyzzxpabcdpabcapabcdabcabbccaddabc2.7利用上题结果求应力分量为0,2,1,1,2,0xyzxyxzyz时，过平面31xyz处的应力矢量np，及该矢量的法向分量n及切向分量n。解求出111,311,111lmn后，可求出,,nxnynzppp及n，再利用关系222222nnxnynznnpppp可求得n。最终的结果为511,711,311nxnynzppp2911,72121nn2.8已知应力分量为10,5,1,4,2,3xyzxyxzyz，其特征方程为-2-三次多项式320bcd，求,,bcd。如设法作变换，把该方程变为形式30xpxq，求,pq以及x与的关系。解求主方向的应力特征方程为321230JJJ式中：123,,JJJ是三个应力不变量，并有公式1xyzJ2222()()()xyxyyzyzzxzxJ3xxyxzxyyyzxzyzzJ代入已知量得14,,192bcbd为了使方程变为Cardan形式，可令3xb代入，正好2x项被抵消，并可得关系232,3273bbbcpcqd代入数据得178359.3333p，16.7407q，143x2.9已知应力分量中0xyxy，求三个主应力123。解在0xyxy时容易求得三个应力不变量为1zJ，2222yzzxJ，30J特征方程变为32222()0zz求出三个根，如记2212z，则三个主应力为112312,0,2zz记123-3-2.10已知应力分量0.9,0.2,0.1,0.1,0.2,xsyszsxysyzs0.1zxs，s是材料的屈服极限，求23,JJ及主应力123,,。解先求平均应力0.4s，再求应力偏张量0.5xss，0.2yss，0.3zss，0.1xyss，0.2yzss，0.1zxss。由此求得22230.25,0.019ssJJ然后求得3sr，sin30.3949，解出0.1353rad1sin0.0779ssr110.3221ss2sin(23)0.5344ssr220.9344ss3sin(43)0.4565ssr330.056ss然后按大小次序排列得到10.9344s，20.3221s，30.056s2.11已知应力分量中1230xy，求三个主应力(1,2,3)ii，以及每个主应力所对应的方向余弦(,,)(1,2,3)iiilmni。解特征方程为322()0xzyz记22xzyz，则其解为1，20，3。对应于i的方向余弦il，im，in应满足下列关系0iixziln（a）0iiyzimn（b）2221iiilmn（c）由（a）,(b)式，得ixziiln，iyziimn，代入（c）式，得222()()11xziyziin，由此求得222222,,yzixziiiiiinlm-4-对1i，1，代入得1111,,222yzxzlmn对2i，20，代入得222,,0yzxzlmn对3i，3，代入得331,,1222yzxzlmn2.12当0xzyz时，证明232()zzJssJ成立。解2300()00xxyxyyzxyxyzsJsssss222221()2xyzxyJsss由222210,()2zxyxyxyJsssssss，移项之得222222211()()22xyzxyzzxysssssssss222222221()2xyxyzzxyxyzsssssssJ证得232()zzJssJ-5-第三章习题答案3.5取,G为弹性常数，,11221EEG，是用应变不变量123,,III表示应力不变量123,,JJJ。解：由112311122GIG，可得1132JGI，由2221211121224IGIG，得2222212233111222212344348JIGIGIGIGI22231231112121233232311123323231123242248248JIGIGIGIGIGIIGIGIGIIGI3.6物体内部的位移场由坐标的函数给出，为233610xuxy，23610yuyxz，23621010zuzyz，求点1,0,2P处微单元的应变张量ij、转动张量ij和转动矢量i。解：首先求出P点的位移梯度张量23363062610021220301206100424xxxyyyijzzzuuuxyzxyxuuuuzyxxxyzzzyuuuxyz将它分解成对称张量和反对称张量之和33303007.5004.501206107.505104.5011004240524010ijij-6-转动矢量的分量为320.001xrad，130yrad，210.0045zrad该点处微单元体的转动角度为220.0010.00450.0046rad3.7电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图3.1所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，00.0005，900.0008，450.0003，求该点的主应变和主方向。解：根据式nijijnn先求出剪应变xy。考察45方向线元的线应变，将45n，22lm，0n，0x，90y，0zyzzx代入其中，可得6450902270010xyxy则主应变有6500350100350800解得主应变61103110，6226910，30。由最大主应变可得650010313501003508001031lm上式只有1个方程式独立的，可解得1与x轴的夹角为1531tan1.5165350ml于是有156.6，同理，可解得2与x轴的夹角为233.4。-7-3.8物体内部一点的应变张量为65003000300400100100100200ij试求：在23212n=eee方向上的正应变。根据式nijijnn，则n方向的正应变为66500300022130040010010333010020064410nijijnn3.9已知某轴对称问题的应变分量z具有zfz的形式，又设材料是不可压缩的，求,应具有什么形式？解：对轴对称情况应有0,0u，这时应变和位移之间的关系为u，uu，zzuz。应变协调方程简化为dd，由不可压缩条件0z，可得20dfzd可积分求得22fzcz，cz是任意函数，再代回dd，可得22fzcz。3.10已知应变分量有如下形式212,xfxyy，212yfx，212xyfxy，2,xzfxyy，2yzfx，3zfz，由应变协调方程，试导出123,,fff应满足什么方程。解：由方程22222yxyxxyxy，得出1f必须满足双调和方程2210f。-8-由22xyyzzxxxyzxyz，得出220