应用概率统计课程考核说明

应用概率统计课程考核说明3、试题类型及规范解答举例一、填空题（每空格3分）1.设BA,为随机事件，4.0)(AP，7.0)(BAP，则当BA,互不相容时，3.0)(BP；当BA,相互独立时，5.0)(BP；（容易题）2.设总体X服从正态分布),(2N，已知方差202，要使总体均值对应于置信度为1的置信区间的长度不大于l，则应抽取容量为202224uln的样本。（中等题）二、判断题（每题2分）1.设随机变量),(YX服从二维正态分布，则X与Y相互独立的充要条件是它们不相关。（是）（容易题）2.中心极限定理说明，不论随机变量nXXX,,,21服从何种分布，在一定条件下它们的总和一定近似服从正态分布。（是）（容易题）.三、计算题（每题7分）1.设球队A与B进行比赛，若有一队胜4场，则比赛结束。已知A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为21，试求需要比赛场数的数学期望。（中等题）解：设需要比赛的场数为X，则X的可能取值为4，5，6，7，且相应的概率8121)4(412CXP一,填空题(本大题共有10个小题,每小题3分)1.设是3个随机事件,则3个事件中恰有一个事件发生用表示为;2.若事件满足Φ(空集),则称与;3.设互不相容,,,则=;4.甲,乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机射击,设甲击中的概率为0.3,乙击中的概率为0.4,则飞机被击中的概率为;5.设随机变量的数学期望是,那么其方差是的数学期望;6.设随机变量服从普阿松分布,且,则;7.若随机变量与相互独立,,则;8.设与是未知参数的两个估计,且对任意的满足,则称比有效;9.设是从正态总体抽得的简单随机样本,已知,现检验假设,则当时,服从;10.在对总体参数的假设检验中,若给定显著性水平(),则犯第一类错误的概率是.二,判断题:若对,打√;若错,打×(本大题共有10个小题,每小题2分)1.是取自总体的样本,则服从分布;()2.设随机向量的联合分布函数为,其边缘分布函数是;()3.设,,,则表示;()4.若事件与互斥,则与一定相互独立;()5.对于任意两个事件,必有;()6.设甲,乙,丙人进行象棋比赛,考虑事件A={甲胜乙负},则为{甲负或平局};()7.设表示3个事件,则表示中恰有一个发生;()8.设为两个事件,则;()9.已知随机变量与相互独立,,则;()10.设,来自于总体的样本,是的无三,计算题(本大题共有7个小题,每小题5分)1.设有10个零件,其中2个是次品,任取2个,试求至少有1个是正品的概率.2.设随机变量的概率分布律为:-2-1013求的概率分布律.3.已知离散性随机变量服从参数为的普阿松分布,若,试求参数的值.4.当随机变量服从区间[0,2]上的均匀分布,试求的值.5.设()的密度函数为,求常数,并判断与是否相互独立6.已知,,,试分别计算,和.7.设总体的概率密度为式中-1是未知参数,是来自总体的一个容量为的简单随机样本,用矩估计法求的估计量.四,证明题(本题15分)若三个事件相互独立,则与独立.第四套参考答案一,填空题1.2.互不相容3.4.5.6.;7.;8.无偏;9.成立;10..二,判断题1.错2.错3.错4.错5.错6.对7.错8.错9.对10.错三,计算题1.解:从有2个次品的10个零件中任意取两个零件的取法总数为:;(2分)而取出的2个零件中没有正品(即:所取的两个零件都是次品)的取法数为:;(3分)从而利用古典概型的概率计算公式可得至少有1个是正品的概率为.(2分)2.解:由于随机变量的概率分布律为:-2-1013故的可能取值为:0,1,4,9.(1分)对应的概率分别为:;(1分);(1分);(1分).(1分)最后列成概率分布表为:0149(2分)注:此题若没有求解过程,而直接列出上述概率分布表也不扣分.3.解:因为随机变量服从参数为的普阿松分布,所以的概率分布为:…;又有题设条件,因此,由上述方程解得参数的值为2.4.解:因为随机变量服从区间[0,2]上的均匀分布,所以,;(6分)因而.(1分)5.解:因为,所以;(3分)取;,则有可分离变量,故与相互独立.(4分)注:在验证与是否相互独立时,也可以通过对联合密度函数的两个变量分别求积分得到两个边缘密度函数.6.解:由题设,,,所以;(3分);(2分).(2分)7.解:,(3分)由矩估计法知,令(3分)得参数的矩估计量.(1分)四,证明题证明:因为相互独立,所以;(2分);(2分);(2分)从而,我们可得由独立性的定义可知:与独立.(9分)41212121)5(33412CCXP165212121)6(233512CCXP165212121)7(333612CCXP故6169316571656415814)(XE2.设公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，乘客在10分钟内任一时刻到达汽车站是可能的，求乘客候车时间不超过7分钟的概率。（容易题）解：设乘客到达汽车站后等车的时间为X，在X在（0，10）内服从均匀分布，其概率密度函数其他,0,100,1.0)(xxf故所求概率707.01.0)70(dxXP三、证明题（15分）1．在n次试验中，事件A在第i次试验中发生的概率为),,2,1(nipi，试证明事件A发生的频率稳定于概率的平均值。（较难题）证明：设X表示在n次试验中事件A发生的次数，若引入随机变量不发生，次试验中，第发生，次试验中第AiAiXi0,1.,,2,1ni则iniiiXXX,1服从二点分布，即分布律为iX01Pip1ip且iiiiiiiqpppXDpXE)1()(,)(。由于,0414)()(22iiiiiiiiqpqpqpqp故.,,2,1,41)(niqpXDiii因此由契比雪夫大数定律可知，对任意的0有,1)(11lim11niiniinXEnXnP即,11lim1niinpnnXP可见，当n充分大时，事件A发生的频率nX稳定于概率的平均值niipn11。三样卷一、填空题（本题共30分）1.已知随机事件A的概率5.0)(AP，事件B的概率6.0)(BP，条件概率8.0)(ABP，则事件BA的概率)(BAP-------------。2.设在三重独立试验序列中，随机事件A在每次试验中出现的概率为31，则A至少出现一次的概率为--------------。3.设随机变量X),,3(~2N且,3.0)53(XP则)1(XP------------。4.设随机变量X的密度函数为xexfx,21)(，则X的概率分布函数)(xF-------------。5.设随机变量X和Y相互独立，且),3,1(~),2,0(~22NYNX则),(YX的联合密度函数为------------。6.设随机变量X和Y相互独立，YNX),,(~2服从区间],[上的均匀分布，则随机变量YXZ的概率密度函数为----------。7.设随机变量X和Y相互独立，且均服从正态分布)21,0(N，则随机变量YX的数学期望)(YXE------------。8.设二维随机变量),(YX的相关系数为5.0XY，X与Y的方差分别为4)(XD，9)(YD，则)32(YXD------------。9.设随机变量nXXXNX,,,),2,1(~212为取自X的简单随机样本，则统计量nX/21服从参数为-------------的正态分布。10.设随机样本nXXX,,,21是来自正态总体),(2N的简单随机样本，且69.12，则当检验假设为35:0H时，应采用的统计量为-----------。二、判断题（本题共20分）1.若某批产品中次品率是0.1，则从中任意抽取10件产品，其中必有一件次品。2.连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于零。3.设随机变量YX,分别服从正态分布，且相互独立，则随机变量),(YX服从二维正态分布。4.若YX,不相关，则X和Y相互独立。5.若随机事件A发生的概率)(AP很小，即个别试验中事件A实际上是不可能发生的，则在实际问题中对小概率事件都是可以忽视的。6.参数的点估计是未知参数的近似值，因此样本容量越小近似程度越好。7.有效估计量一定是无偏的估计量。8.在一个确定的假设检验中，当样本容量一定时，犯两类错误的概率与不能同时减少。9.在方差分析中常用的检验法是F检验法。10.设一元线性回归模型为),0(~,2NbXaY，则求回归系数a和b的估计的方法只能是最小二乘法。三、计算题（每题7分，共35分）1．某种零件的长度服从正态分布，它过去的均值为20.0，现换了新材料，为此从产品中随机抽取8个样品，侧得长度为：20.0,20.0,20.1,20.2,20.0,20.3,19.8,20.0问用新材料做的零件的平均长度是否起了变化？（05.0）2．设总体X服从正态分布)3.6,52(2N，从X中抽取容量为36的简单随机样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率。3．设二维随机变量),(YX在区域xyxD,10:内服从均匀分布，试求X的边缘密度函数及随机变量12XZ的方差)(ZD。4．设二维随机变量),(YX的联合密度函数为.,0,10,10,4),(其他yxxyyxf求),(YX的联合分布函数),(yxF。5．设甲、乙、丙三人进行比赛，规定甲与乙先比，胜者与丙比，依此循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军。如果比赛双方取胜的概率均为0.5，求甲获得冠军的概率。四、证明题（本题15分）从方差已知的正态总体),(2N中抽取样本nXXX,,,21，设nccc,,,21为常数，且11niic，证明：（1）iniiXc1ˆ是总体均值的无偏估计量；（2）在所有这些无偏估计量iniiXc1ˆ中，样本均值niiXnX11是的最有效估计量，也就是说，样本均值niiXnX11的方差最小。实变函数III.试题类型及规范解答举例一、单项选择题⒈区间是（）．(A)有限集合(B)无界集合(C)可列集合(D)不可列集合选项(D)正确，将D填入题中括号内。（容易题）⒉设是中两个集合，则成立的充分必要条件是（）．(A)(B)(C)(D)选项(D)正确，将D填入题中括号内。（中等题）⒊设是任一可测集，则（）．(A)是开集(B)是闭集(C)对任意，存在开集，使(D)是完备集选项(C)正确，将C填入题中括号内。（较难题）二、填空题⒈直线上任一非空有界开集可表示成个互不相交的开区间的并．在横线上填写答案“至多可列”。（容易题）⒉设是中的点集，如果对任意点集都有，则称是勒贝格可测集．在横线上填写答案“”。（中等题）⒊设是上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意，有，则称依测度收敛于．在横线上填写答案“”。（较难题）三、计算题与证明题⒈设，计算勒贝格积分．解：因，所以于，因此（容易题）⒉设是上的勒贝格可积函数，，证明．证明：因在上可积，所以在上也可积．因此．即．由积分的绝对连续性，便得（中等题）⒊设，是上几乎处处有限的可测函数，证明对任意，存在上有界可测函数，使得．证明：设．由于几乎处处有限，所以．每个都是可测集，，且．于是．因此，对任意，存在，使．令则是上的有界可测函数，且（较难题）IV.样卷一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1.下列集合中基数最大的是（）．(A)自然数集(B)康托集(C)整数集(D)平面上坐标为有理数的点组成的集合2.若，则（）．(A)(B)(C)(D)3.设，若的任何邻域,，则是的（）．(A)内点(B)边界点(C)聚点(D)孤立点4.设是上几乎处处有限的函数，则在上可测是可表示为一列简单函数极