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第9章序列相关性SlidesbyNiels-HugoBlunchWashingtonandLeeUniversity9-1纯序列相关性•纯序列相关性破坏了古典假设IV，古典假设IV保证了在正确设定的方程中各误差项观测值之间没有相关性•最被广泛假设的序列相关性是一阶序列相关性，在一阶序列相关性中，随机误差项的当期值是上一期值的函数：εt=ρεt–1+ut(9.1)此处：ε=出现问题方程的随机误差项ρ=一阶自相关系数u=随从古典假设的随机误差项（无序列相关性）9-2•ρ的大小反应了序列相关性的程度：–如果ρ是零，则没有序列相关性–随着ρ在绝对值上趋于1，上一期观测值随机误差项对本期观测值随机误差项εt的影响将越来越大，此时，序列相关性的程度在增加–ρ超过1是没有意义的，因为随机误差项不是“爆炸的”•作为一个结论，ρ的取值范围是：–1ρ+1(9.2)纯序列相关性9-3•ρ的符号表明了序列相关性的性质：•正号：–本期随机误差项倾向于与下一期随机误差项有相同的符号–这种情况是正序列相关性•负号：–在一个连续的观测序列中，随机误差项倾向于不断的改变符号，从正到负，又从负到正–这种情况是负序列相关性•Figures9.1–9.3展示了几种不同的情形纯序列相关性9-4Figure9.1a正序列相关性9-5Figure9.1b正序列相关性9-6Figure9.2无序列相关9-7Figure9.3a负序列相关性9-8Figure9.3b负序列相关性9-9不纯的序列相关性•不纯的序列相关性是一种由设定误差引起的序列相关性，例如：–遗漏解释变量–不正确的函数形式•如何导致了序列相关性？•作为一个例子，假设真实的模型是：(9.3)此处εt是服从古典假设的随机误差项，如果X2被研究者从方程中偶然地遗漏，或者X2的数据难以获得，那么，研究暑使用的模型是：(9.4)•随机误差项并不服从古典假设此处9-10•结果，随机误差项是其中一个解释变量X2的函数•于是，新的随机误差项ε*将是序列相关的，即使真实的随机误差项ε,并不是•特别是，新的随机误差项倾向于是序列相关的，当：1.X2本身是序列相关的，这在时间序列数据中非常常见，同时；2.与相比，ε是比较小的•Figure9.4以美国可支配收入为例展示了第1点不纯的序列相关性9-11Figure9.4美国可支配收入是时间的函数9-12•现在转向由不正确的函数形式引起的序列相关性•假设真实的模型是多项式形式的：(9.7)但是，研究者却使用了一个线性模型：(9.8)•新的随机误差项ε*是原来真实的随机误差贡的一个函数，这个函数介于线性形式与多项式形式之间•Figure9.5展示了这种序列相关性与通常序列相关性的不同不纯的序列相关性9-13Figure9.5a不正确的函数形式是不纯的序列相关性的一个来源9-14Figure9.5b不正确的函数形式是不纯的序列相关性的一个来源9-15序列相关性的后果•序列相关性将会使得OLS估计的方程产生如下的后果：1.纯的序列相关性不会引起估计系数的有偏性2.序列相关性使OLS估计的系数在所有线性估计量中不再是最小方差的3.序列相关性使得OLS方法估计的系数估计量的标准误是有偏的，这将导致假设检验的不可靠性。通常情况下，标准误估计的偏差是负产的，也就是说OLS估计量低估了回归系数估计量的标准误，同时也就高估了t统计量的值9-16Durbin–Watsond检验（DW检验）•有两种主要的方法用于检验序列相关性：–非正式的：观察残差的变化，如Figure9.1–正式的：序列相关性的检验，DW检验：Durbin–Watsondtest•下面将详细说明DW检验•首先，需要注意的是，使用DW检验需要满足如下三下假设：1.回归模型包含截距项2.序列相关性是一阶的：εt=ρεt–1+ut此处ρ是自相关系数，u是服从古典假设的，包括服从正态分布3.没有滞后的被解释变量作为解释变量9-17•包含T个观测值的DW检验的d统计量（或DW统计量）通过下式计算：(9.10)此处et是OLS估计后获得的残差•注意三个关键点：1.完全正自相关：d=02.完全负相关：d≈43.无序列相关：d≈2Durbin–Watsond检验（DW检验）9-18•为了检验正的序列相关性（很少检验负的序列相关性），检验的步骤如下：1.对原模型进行OLS估计，获得残差项后，根据方程9.10计算d统计量2.根据样本容量、解释变量的个数，从附录中查询到d统计量的上临界值dU,和下临界值dL,，使用附录时请注意查看使用说明Durbin–Watsond检验（DW检验）9-193.设定检验的假设，使用决定法则H0:ρ≤0(没有正的序列相关性)HA:ρ0(正的序列相关性)如果ddL拒绝H0如果ddU接受H0如果dL≤d≤dU没有结论•在少数情况下，使用一阶差分的回归方程，那么二阶d检验可能是合适的•在那种情况下，步骤1、2是相同的，而步骤3应当是：Durbin–Watsond检验（DW检验）9-203.设定检验的假设，使用决定法则H0:ρ=0(没有序列相关性)HA:ρ≠0(序列相关性)如果ddL拒绝H0如果d4–dL拒绝H0如果4–dUddU接受H0否则没有结论•Figure9.6给出了一个单边DurbinWatsond检验的例子Durbin–Watsond检验（DW检验）9-21Figure9.6单边Durbin–Watsond检验的例子9-22序列相关性的补救•修正自相关的第一步就是仔细检查可能引起不纯的序列相关性的模型设定误差–函数形式正确吗？–确定没有遗漏的变量了吗？–只有仔细检查了模型的设定后，才有必要对纯序列相关性进行检验并修正•有两种主要的修正序列相关性的方法：1.广义最小二乘法（GLS：GeneralizedLeastSquares）2.Newey-West标准误9-23广义最小二乘法（GLS）•从一个有一阶自相关的模型开始：(9.15)•由于εt=ρεt–1+ut（由于纯序列相关性），因此，可以得到(9.16)•在方程9.15两边同乘ρ同时对新的方程滞后一期，可以得到：(9.17)9-24•将方程9.16减去方程9.17，可以得到：(9.18)•最终可以得到方程9.18：(9.19)(9.20)广义最小二乘法（GLS）9-25•方程9.16被称为方程9.19的广义最小二乘法，也称广义差分法•请注意：1.随机误差项不再是序列相关的a.因此，OLS对方程9.19的估计将得到最小方差的估计量b.这需要我们知道ρ或我们能精确的估计ρ2.广义最小二乘法得到的β1与方程9.16（存在序列相关性）的β1是一致的，因此，GLS与OLS在该回归系数的意义上是一致的广义最小二乘法（GLS）9-263.与方程9.16相比，被解释变量已经改变，这意味着GLS不能直接与OLS直接比较4.为了使用GLS估计后的模型进行预测，第15章第2节中讨论的调整是必要的•不幸的是，我们不能使用OLS去估计一个GLS模型，因为GLS本质上是对系数非线性的•幸运的是，至少有两种可行的方法•Unfortunately,wecannotuseOLStoestimateaGLSmodelbecauseGLSequationsareinherentlynonlinearinthecoefficients•Fortunately,thereareatleasttwoothermethodsavailable:广义最小二乘法（GLS）9-27Cochrane–Orcutt替代方法•这也许是已知的最好的GLS方法•这是一种两步法，首先将估计出ρ，然后，使用该估计值进行GLS估计•这两步的具体步骤：1.对怀疑存在序列相关性的模型进行OLS估计，获得残差序列后，再估计方程：et=ρet–1+ut(9.21)此处et是对怀疑存在序列相关性的模型进行OLS估计后获得的鳌头，ut是服从古典假设的随机误差项2.将代入方程9.18，并使用OLS方法，调整后的数据，估计该方程•这两步被不断重复（迭代），直到最后两次迭代后的结果基本不再变化•如果是快速收敛的，也就是说迭代次数少，可直接使用第2步中的方程9.18作为最后的估计结果9-28AR(1)方法•这也许是一种比Cochrane–Orcutt迭代更好的方法•AR(1)方法估计GLS方程，如方程9.18，是同时估计β0、β1、ρ的，使用的方法是一种迭代的非线性方法，该的讨论已经走出本章•AR(1)与Cochrane–Orcutt迭代趋向于得到相同的估计系数•但是，AR(1)得到的估计的标准误将更小•只要软件允许非线性估计，推荐使用AR(1)方法9-29Newey–West标准误•当然，并不是所有修正纯序列相关性的方法都广义最小二乘法（GLS）•Newey–West标准误通过修正标准误来修正序列相关性，而不改变估计的回归系数•Newey–West标准误更有利是因为：–如果序列相关性仅仅影响标准误，而不影响估计系数的无偏性，那么修正序列相关性时，调整估计系数的标准误即可，而没有必要调整系数本身的估计值9-30•Newey–West标准误是一个有偏估计，但是更有效，因为Newey–West标准误存在序列相关性时未修正的标准误更小，从而使估计更精确•因此，Newey–West标准误可以用于存在序列相关性时的t检验和其它假设检验，而降低了推断的误差•通常情况下，Newey–West标准误比OLS标准误要大，因此t统计量的值要小一些Newey–West标准误