应用高等数学等价替换公式

应用高等数学等价替换公式1应用高等数学等价替换公式1、无穷小量：设0）x（glim）x（flim00xxxx（1）若0）x（g）x（flim0xx，f（x）是g（x）的高阶无穷小（2）若）x（g）x（flim0xx，f（x）是g（x）的低阶无穷小（3）若c）x（g）x（flim0xx，f（x）是g（x）的同阶无穷小（4）若1）x（g）x（flim0xx，f（x）是g（x）的等价无穷小（5）若0）x（g）x（flimkxx0，f（x）是g（x）的k阶无穷小2、等价替换：若x→x0，f（x）~f1（x），g（x）~g1（x）则）x（g）x（flim0xx）x（g）x（flim11xx06、常用等价形式：当f（x）→0时（1）sinf（x）~f（x）（2）arcsinf（x）~f（x）（3）tanf（x）~f（x）（4）arctanf（x）~f（x）（5）In（1+f（x））~f（x）（6）ef（x）-1~f（x）（7）1-cosf（x）~2）x（f2应用高等数学等价替换公式2（8）（1+f（x））α-1~αf（x）二、函数的连续：1、间断点：（1）第一类间断点：f-（x0）、f+（x0）均存在的间断点⑴跳跃间断点：f-（x0）≠f+（x0）⑵可去间断点：f-（x0）=f+（x0）（2）第二类间断点：f-（x0）、f+（x0）至少有一个不存在的间断点⑴无穷间断点：f-（x0）、f+（x0）中至少有一个为∞⑵振荡间断点：f-（x0）、f+（x0）中至少有一个振荡不存在三、导数：1、定义：）x（f=x△）x（f-）x△x（flim000x△2、导数的常见形式：（1）00xx0x-x）x（f-）x（flim）x（f0（2）h）x（f-）hx（flim）x（f000h（3）h）hx（f-）x（flim）x（f000h3、切线方程：若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）），则y-y0=）x（f0（x-x0）注：（1）如果）x（f0=∞，则x=x0（2）如果）x（f0=0，则y=y04、法线方程：若直线过点P（x0，f（x0）），则y-y0=）x（f10（x-x0）5、基本公式：（1））C（0（2）1-aaax）x（（3）Inaa）a（xx应用高等数学等价替换公式3（4）xxe）e（（5）xIna1）xlog（a（6）x1）Inx（（7）cosx）sinx（（8）sinx-）cosx（（9）xsec）tanx（2（10）xcsc-）cotx（2（11）tanxsecx）secx(（12）cotxcscx-）cscx（（13）2x-11）sinxarc（（14）2x-11-）cosxarc（（15）2x11）tanxarc（（16）2x11-）cotxarc（6、四则运算：和都有导数（1））(（2）c）c（（3））(（4）)0()(2推论：（1）c）c（应用高等数学等价替换公式4（2））（（3）swswwswsws）（7、反函数求导法则：设y=f（x）与x=（y）（（y）≠0）则）y（1）x（f或xy=yx18、n次导的常见公式：（1））n（）sinx（=）2nx（sin（2））2nx（cos）cosx（）n（（3）n[In1x]=n1-n）x1（!）1-n（）1-（9、参数方程求导：设函数）t（y），t（x），且bta（）t（y）t（x都可导，其中x=）t（≠0，则函数的导数）t（）t（dtdxdtdydxdy10、复合函数求导：若y=f（u），u=（x），且f（u）及（x）都可导，则复合函数y=f[（x）]的导数）x（）x（fdxdy11、隐函数求导：（1）方程F（x，y）=0两边求导，解出y或dxdy（2）公式法：由F（x，y）=0，则yxFFdxdy（3）利用微分形式的不变性，方程两边求微分，然后解出dxdy应用高等数学等价替换公式5注：y是x的函数12、对数求导：将函数关系式两边取自然对数（成为隐函数形式），化简，然后两边两边求导，最后两边乘以y（x）注：适用于多个因式的乘、除、乘幂构成或幂指函数（y=u（x）v（x））13、高阶导数：（1）二阶导数：x△）x（f-）x△x（flim）x（f0x△（2）三阶导数：x△）x（f-）x△x（flim）x（f0x△（4）n阶导数：x△）x（f-）x△x（flim）x（f）1-n（）1-n（0x△）1-n（14、中值定理：（1）拉格朗日定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得a-b）a（f-）b（f）（f推论1：如果函数f（x）在区间（a，b）内任意一点的导数）x（f都等于零，你们函数f（x）在（a，b）内是一个常数推论2：如果函数f（x）与g（x）在区间（a，b）内每一点的导数）x（f与）x（g都相等，则这两个函数在区间（a，b）内至多相差一个常数，即：f（x）=g（x）+C，x（a，b）（2）罗尔定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得）（f0（3）柯西定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且0）x（g，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得）a（g-）b（g）a（f-）b（f=）（g）（f15、洛必达法则：（1）00型：设函数f（x）、g（x）满足：⑴）x（glim）x（flim00xxxx0⑵在点x0的某去心邻域内）x（g）与x（f都存在，且）x（g0应用高等数学等价替换公式6⑶）x（g）x（flim0xx存在或为无穷有：）x（g）x（flim0xx=）x（g）x（flim0xx（2）型：设函数f（x）、g（x）满足：⑴）x（glim）x（flim00xxxx⑵在点x0=的某去心邻域内）x（g）与x（f都存在，且）x（g0⑶）x（g）x（flim0xx存在或为无穷有：）x（g）x（flim0xx=）x（g）x（flim0xx（3）其他未定型：⑴0·∞型：f（x）·g（x）转化成）x（f1）x（g或）x（g1）x（f，一般将In、arc留在分子上⑵∞-∞型：通过通分、分子有理化、倒数代换或代数、三角恒等变形化为00型或型⑶0、0、1型：f（x）g（x）=eg（x）Inf（x）=）x（g1）x（Infe16、函数单调性判定：设函数y=f（x）在开区间（a，b）内可导（1）如果函数y=f（x）在（a，b）内，0）x（f，则函数y=f（x）在（a，b）内单调递增；（2）如果函数y=f（x）在（a，b）内，0）x（f，则函数y=f（x）在（a，b）内单调递减；17、函数的极值：（1）如果函数y=f（x）在点x0及其左右近旁有定义，且对于x0近旁的任何一点x（x≠x0）的函数值f（x）均有：应用高等数学等价替换公式7⑴f（x）f（x0）,则f（x0）称为函数y=f（x）的极大值，点x0称为函数y=f（x）的极大值点⑵f（x）f（x0）,则f（x0）称为函数y=f（x）的极小值，点x0称为函数y=f（x）的极小值点（2）驻点：）x（f00的点（3）极值第一充分条件：设点x0是f（x）可能的极值点（0）x（f0或）x（f0不存在）⑴当0）x（f）时，x，-x（x00；0）x（f）时，x，x（x00,则x0为极大值点⑵当0）x（f）时，x，-x（x00；0）x（f）时，x，x（x00,则x0为极小值点⑶当）x，-x（x00）x，x（00，）x（f同号，则x0不是极值点（4）极值的第二充分条件：设y=f（x）在点x0处有一、二阶导数，且）x（f0=0⑴如果）x（f00，则函数y=f（x）在点x0处取得最小值f（x0）⑵如果）x（f00，则函数y=f（x）在点x0处取得最大值f（x0）18、曲线凹凸性：（1）若对于x（a，b）时，0）x（f，则曲线在（a，b）上为凹，用符号“”表示（2）若对于x（a，b）时，0）x（f，则曲线在（a，b）上为凸，用符号“”表示6、曲线拐点：设f（x）在x0的某个邻域内二阶可导，且）x（f00，若x0两侧）x（f0改变符号，则（x0，f（x0））为曲线的拐点19、曲线的渐近线：（1）水平渐近线：如果函数y=f（x）的定义域是无穷区间，且b）x（flimx，则y=b（2）垂直渐近线：如果函数y=f（x）在x=x0处间断，且）x（flim0xx，则x=x0应用高等数学等价替换公式8（3）斜渐近线：如果函数y=f（x）定义在无穷区间，且ax）x（flimx，bax]-）x（[flimx，则y=ax+b20、经济学与导数：（1）利润：L（Q）=R（Q）-C(Q)（2）边际利润：）Q（C-）Q（RQ)（L（3）函数弹性：）x（f）x（fxExEy（4）需求弹性（供给函数）：）p（Q）Q(pp）p（0000注：⑴当|η|1时，为低弹性，此时需求变动幅度小于价格变动幅度。且）Q（R0，收益R（p）单调递增，即价格随总收益的增加而增加⑵当|η|1时，为高弹性，此时需求变动幅度大于价格变动幅度。且）Q（R0，收益R（p）单调递减，即价格随总收益的增加而减少①当|η|=1时，为单位弹性，此时需求变动幅度等于价格变动幅度。且）Q（R=0，收益R（p）取得最大值四、微分：1、定义：dy=dx）x（f2、基本公式：（1）d（c）=0（2）dxax）x（d1-aa（3）Inadxa）a（dxx（4）dxe）e（dxx（5）dxxIna1）xlog（da（6）dxx1）Inx（d（7）dxcosx）sinx（d（8）dxsinx-）cosx（d应用高等数学等价替换公式9（9）dxxsec）tanx（d2（10）dxxcsc-）cotx（d2（11）dxtanxsecx）secx(d（12）dxcotxcscx-）cscx（d（13）dxx-11）sinxarc（d2（14）dxx-11-）cosxarc（d2（15）dxx11）tanxarc（d2（16）dxx11-）cotxarc（d23、四则混合和都有微分（1）dd）（d（2）cd）c（d（3）dd）(d（4）)0(dd)(d25、应用：（1）计算函数改变量的近似值：△y≈dy=x）△x（f0（2）计算函数值的近似值：f（x0+△x）≈f（x0）+x）△x（f0（3）当x0=0时，|x|很小时，有f（x）≈f（0）+x）△0（f注：|△x|相对于x0很小（越小越好）推论：⑴nx1)x1(n⑵ex≈1+x⑶In（1+x）≈x⑷sinx≈x（x用弧度制表示）应用高等数学等价替换公式10⑸tanx≈x（x用弧度制表示）五、不定积分：1、定义：C）x（Fdx）x（f2、基本公式：（1）C0dx（2）Ckxkdx（k为常数）（3）C1axdxx1aa（4）CxIndxx1（5）CInaadxaxx（a0且a≠1）（6）Cedxexx（7）Ccosx-sinxdx（8）Csinxcosdx（9）Ctanxxdxsec2（10）