高二上学期期末数学复习宝典

融安高中高二数学1高二数学复习宝典（必看资料!）《不等式》基本概念、公式复习宝典一、不等式：1、不等式性质（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,abcd，则acbd;若,abcd，则acbd，但同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；若0,0abcd，则acbd异向不等式可以相除，但不能相乘；若0,0abcd，则abcd；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0ab，则nnab或nnab；（4）倒数法则：若0ab，ab，则11ab；若0ab，ab，则11ab.2.作差法比较不等式大小：步骤：作差→变形→判断符号；关键是第二步，通过因式分解、通分、配方等将差式变形为积、商、或平方和的形式，判断差式与0的大小；3、证明不等式的方法：比较法、分析法和综合法（1）比较法的步骤是：差（商），变形（分解因式、配方、通分等），判断符号，下结论.（2）分析法：由结论到条件.优点是思路自然，容易掌握.（3）综合法：由条件到结论（某些证明过的不等式、结论或已知条件）.通常从均值不等式定理出发,关键是如何使用均值不等式，怎样对已知等式进行适当的变形.证明问题时，分析法与综合法常结合使用；练习：1、若a＜b＜0，则下列式子：①a＋1＜b＋2；②1ab；③a＋b＜ab；④11ab中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、如果01ba，则22,,1,1abab的大小关系为3、设RxxxBxA,2,21234且1x，则BA,的大小关系为4、若53,42ba，则ba3的取值范围为，bba2的取值范围为.5、证明下列不等式（1）已知Rba,,求证:baabba122；（2）已知1,0,0,0cbacba，求证：9111cba；二.常用不等式：（1）,abR222abab(当且仅当a＝b时取“=”号)．融安高中高二数学2（2）2)(222baba(当且仅当a＝b时取“=”号)．三.均值不等式：,abR2abab(当且仅当a＝b时取“=”号)．1、条件：一正二定三等，和定积最大，积定和最小2、定积或积定的常用方法：（1）添项；（2）分离法（换元分离或取倒数分离）；（3）1的整体代换；（4）消元代换；（5）构造不等式.3、若均值不等式取不了等，用对勾函数的单调性解决：对勾函数的一般形式：)0,0(baxbaxy对勾函数图象：练习：（1）已知45x，求54114xxy的最大值；（2）已知210x，求)21(xxy的最大值；（3）已知0x，求42xxy的最大值；（4）已知2x，求42962xxxy的最小值；（6）已知191,0,yxyx，求yx的最小值；（7）已知3,0,yxxyyx，求xy的取值范围；（8）已知]2,0(x，求92xxy的最大值.四、不等式的解法1.分式、二次、高次不等式：标根法前提条件：分子分母中的最高次项系数为正步骤（1）求根：分解成若干个一次因式的积，并使分子分母每一个因式中最高次项的系数为正；（2）标根：将每一个一次因式的根标在数轴上，注意实心与空心；（3）串根：从上到下，从右到左，奇穿偶不穿；（4）写出不等式的解集.注：解分式不等式时，注意移项使一边为0；一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。2.绝对值不等式的解法：（1）公式法：)()()()(|)(|xgxfxgxgxf)()()()()(|)(|xgxfxgxfxgxf或.次转化无需讨论)(xg的正负.（2）平方法：两边非负.)()(|)(||)(|22xgxfxgxf；（3）零点分段法：含两个绝对值以上edcxbax||||令0||,0||dcxbax求出零点，零点将数轴分为3段，分段讨论.最后结果应取各段的并集（4）数形结合法：利用绝对值的几何意义||ax表示数轴上点x到点a的距离；练习：解下列不等式融安高中高二数学3（1）035222xxx（2）13252xxx（3）0)107)(6(22xxxx（4）3|9|2xx（5）|||2|xx（6）||342xx（7）2|2||12|xx3、含参不等式的解法：分类讨论法（1）讨论最高次项的系数是否为0；（2）讨论两根的大小；（3）讨论与0的关系；提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。（3）解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。练习：解下列含参不等式（1）0)43(2xxa（2）06522aaxx（3）022xxax（4）012axx4、不等式恒成立问题与存在性问题（有解）的区别不等式恒成立和存在性是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团.（1）不等式f(x)k在xI时恒成立kxf)(max，xI.（2）不等式f(x)k在xI时有解kxf)(min，xI.（3）不等式f(x)k在xI时恒成立kxf)(min，xI.（4）不等式f(x)k在xI时有解kxf)(max，xI.解决不等式恒成立和存在性问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：数形结合，分离参数等.练习：（1）aaxxx恒成立，求实数，不等式对任意实数21的取值范围.（2）若不等式axx|3||4|的解集为非空集合，求实数a的取值范围（3）若不等式012xax在R上恒成立，求实数a的取值范围；（4）若不等式012axx在)2,0(上恒成立，求实数a的取值范围；融安高中高二数学4《直线与圆的方程》基本概念、公式复习宝典一、直线1、直线的两个特征量：（1）斜率：①定义法tank，倾斜角），（00018090)90,0[；不存在kkk,900,180900,90000000②斜率公式)(211212xxxxyyk；当21xx，斜率k不存在；③直线的方向向量,),(mnknma；④化为斜截式bkxy求直线方程时注意讨论k是否存在;当斜率不存在时，直线垂直于x轴斜率的应用：①证明三点CBA、、共线BCACkk②求分式函数axbyy的最值：看作动点),(yx与定点),(ba连线的斜率最值.（2）截距：定义：直线l与yx轴或轴交点的横坐标或纵坐标.求法：令00yx或，求出xy或.求直线方程时注意讨论截距是否为0；若截距为0，直线过原点；练习：1、三点)2,5(),3,4(),3,2(k在同一条直线上，求k的值；2、直线1l上两点），（、aBA2)2,1(，1l的方向向量为)6,2(a（1）求a的值和直线1l的斜率.（2）若直线2l的倾斜角是直线1l的倾斜角的2倍，求直线2l的斜率.（3）若直线012:3nymxl在坐标轴上的截距等于1l在坐标轴上的截距，求实数nm、.2.直线的四种方程（1）点斜式11()yykxx(直线l过点111(,)Pxy，且斜率为k)．（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的纵截).)1(mkxlaamyx轴上的横截，在为直线（3）截距式1xyab(ab、为直线的横、纵截)（0ab、）（4）一般式0AxByC(其中A、B不同时为0).3.待定系数法求直线方程：①选定直线的一种形式:已知点一般用点斜式，已知斜率或截距一般用斜截式.②通过方程待定未知变量.练习：求下列直线方程（1）在y轴上的截距是5，倾斜角的正弦值是53（2）经过点)2,3(P，且在两坐标轴上的截距相等；（3）倾斜角为4，且与坐标轴围成的面积为1；（4）过点)2,3(P，与yx,轴的正半轴交于A、B两点，且AOB面积最小.4.平行和垂直(1)若111:lykxb，222:lykxb融安高中高二数学5①121212||,llkkbb;②12121llkk.(2)若1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,且（A1、A2、B1、B2不都为零）①11112222||ABCllABC；或（0012211221CACABABA或0012211221CBCBBABA）②1212120llAABB；练习：1、已知两直线023:,04)1(2:21ymxlymxl平行，求a的值；2、已知两直线0)12(:,02:21aayxalayaxl垂直，求a的值；5.角度：111:lykxb，222:lykxb,121kk（1）夹角公式2121tan||1kkkk.夹角范围]2,0[直线12ll时，直线l1与l2的夹角是2.（2）到角公式（1l到2l的角）范围),0(当121kk时，2121tan1kkkk.当直线12ll时，直线l1到l2的角是2.练习：（1）已知直线l经过点)1,3(P，且被两平行直线01:1yxl，06:2yxl截得的线段长为5，求直线l的方程；（2）一等腰三角形的底边所在直线01:1yxl，一腰所在直线012:2yxl，又另一腰所在直线3l过点)0,2(，求3l的直线方程.6.距离：（1）点到直线的距离0022||AxByCdAB(点00(,)Pxy,直线l：0AxByC).（2）两平行线的距离2221||BACCd)0:,0:(2211CByAxlCByAxl直线练习：1、已知两平行直线0430186myxyx与的距离为52，求m的值；2、已知正方形ABCD的中心为)0,1(E，其中一边AB所在直线方程为013yx，求其他三边所在直线方程；7．四种常用直线系方程：（1）定点直线系方程：经过定点000(,)Pxy的直线系方程为00()yykxx(除直线0xx),其中k是待定的系数;定点的求法：对变量k取2个特值，联立方程求解，方程的解就是定点；(2)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(C)，λ是参变量．(3)垂直直线系方程：融安高中高二数学6与直线0AxByC(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是0BxAy,λ是参变量．练习：1、已知直线02)1(:ayxal（1）若l在坐标轴上的截距相等，求a的值；（2）若l不过第二象限，求a的取值范围；（3）若l恒过一定点，求该定点坐标.2、已知直线01243:1yxl，求直线2l的方程.（1）1l与2l平行，且过点)3,1(；（2）过两直线02042yxyx和的交点，且1l与2l垂直；3、已知)2,3(),3,2(BA，直线01:kykxl与线段AB相交，求实数k的取值范围8.对称问题：1、点关于点对称求点00(,)Pxy关于点),(baM的对称点),('''yxP，利用中点坐标公式，即byyaxx22'0'02、点关于直线对称：点00(,)Pxy关于直线l：0CByAx（BA,不全为零）对称点'(,)Pxy,则0000'()1'''022yyAxxBxxyyABC注：（1）中点在对称直线上（方程①）；（2）过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）3、直线关于直线对称：直线0:1111cybxal，0:2222cybxal关于直线0:3333cybxal对称