教案10-2.2连续型随机变量及其概率密度

《概率与数理统计》10—§2-2连续型随机变量及其概率密度（共6页）第1页教学对象管理系505-13、14、15；经济系205-1、2计划学时2授课时间2006年3月3日；星期五；1—2节教学内容第二节连续型随机变量及其概率密度一、概率密度的概念二、均匀分布三、指数分布教学目的通过教学，使学生能够：1、理解概率密度的概念和作用2、掌握均匀分布3、了解指数分布知识：1、概率密度2、均匀分布3、指数分布技能与态度1、将生活中的随机现象与随机变量的分布相联系2、会计算均匀分布的概率问题教学重点概率密度的概念教学难点概率密度的理解教学资源自编软件教学后记培养方案或教学大纲修改意见对授课进度计划修改意见对本教案的修改意见教学资源及学时调整意见其他教研室主任：系部主任：《概率与数理统计》10—§2-2连续型随机变量及其概率密度（共6页）第2页教学活动流程教学步骤、教学内容、时间分配教学目标教学方法一、复习导入新课复习内容：（5分钟）1、分布律的概念2、二项分布3、泊松分布4、作业讲评导入新课：（2分钟）上一节研究了离散型随机变量，它们的取值是有限个或可列无穷多个。但在许多的随机试验中，随机变量的取值可以是某一区间内的实数，如电池的使用寿命，某一地区的年降水量，它们的取值不是集中在有限或可列无穷多个点上，可以说它们的取值更多，因为它们取值是连续的，因此用离散型随机变量的分布律来研究这类随机变量是无法实现的。我们只有确定了X在某一区间取值的概率P{aX≤b}，才能掌握X取值的概率分布规律。连续型随机变量是一种重要的非离散型的随机变量。在这一节中我们要给出连续型随机变量的定义、性质、概率计算，并介绍一些常用的连续型随机变量的分布巩固所学知识，与技能引出本节要学习的主要内容提问讲解二、明确学习目标（2分钟）1、理解概率密度的概念和作用2、掌握均匀分布3、了解指数分布三、知识学习（50分钟）一、连续型随机变量及其概率密度补充内容：频率直方图的概念作法，频率密度折线连续型随机变量的概率密度可由频率直方图的极限形式得到。此处直接给出定义1、定义：对于随机变量X，若存在非负可积函数f(x)，(-∞x∞)，使得对任意实数a和b，(ab)都有P{aX≤b}=badxxf)(，则称X为连续型随机变量。f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度，或密度函数，或密度。2、密度函数的性质(1)f(x)0(2)dxxf)(=P{-∞X∞}=1说明：判断一个函数是否能成为某个随机变量的密度函数，以这两条性质为标准进行验证。由频率密度折线引出概率密度曲线的概念掌握密度函数的概念理解性质掌握几何意义讲授法软件演示《概率与数理统计》10—§2-2连续型随机变量及其概率密度（共6页）第3页3、概率密度函数的几何意义（P25）由定积分badxxf)(的几何意义可知：X在[a，b]内取值的概率P{aX≤b}即为介于直线x=a和直线x=b之间，并且在x轴的上方，密度曲线的下方所围成的曲边梯形的面积。又由于P{xX≤x+△x}=xxxdxxf)(=f(ξ)△x，(积分中值定理)如果将连续型X在(x，x+△x)内的取值对应于离散型X在X=ξ处的取值，则有P{X=ξ}=f(ξ)dx，可见f(ξ)dx相当于离散型X的分布律中的pk需要特别指出：对于连续型随机变量X来说，它取某一指定的实数值x0的概率为零，即P{x=x0}=0据此，对连续型随机变量X，有P{aX≤b}=P{a≤X≤b}=P{aXb}=P{a≤Xb}即在计算X落在某区间里的概率时，可以不考虑区间是开的、闭的或半开半闭的情况。这里，事件{X=x0}并非不可能事件，它是会发生的，也就是说零概率事件也是有可能发生的。不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。同理，必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。例1、设随机变量X具有概率密度函数f(x)=其它,020),24(2xxxk，求（1）常数k，（2）P{1X3}，（3）P{X1}解：（1）由性质2：dxxf)(=1，有202)24(dxxxk=1，得2032)322(xxk=1，即38k=1，所以k=83（2）P{1X3}=210)24(8332212dxdxxx说明密度函数的作用性质应用作图说明软件演示讲授法abxf(x)P{axb}《概率与数理统计》10—§2-2连续型随机变量及其概率密度（共6页）第4页（3）P{X1}=21)24(8301020dxxxdx连续型X也有一些常见的分布。下面先介绍较为简单的分布。二、均匀分布定义：若随机变量X具有概率密度函数f(x)=其它,0,1bxaab，则称X在区间[a,b]上服从均匀分布，记为X~U(a,b)在[a,b]上服从均匀分布的随机变量X，具有下述等可能性：即它落在区间[a,b]中任意长度相同的子区间的概率是相同的，或者说X落在子区间里的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。事实上对于任一长度为L的子区间(c,c+L]，a≤cc+L≤b有P{cXc+L}=LccLccabLdxabdxxf1)(例2、电视台每隔半小时报时一次，某人在任一时刻打开电视机的可能性相等，求他等候报时少于5分钟的概率。解：设等候报时的时间为随机变量X，依题意有：X~U[0,30]，f(x)=其它,0300,301x，则所求概率为P{X3}=101301)(303dxdxxf说明：候车时间也服从均匀分布三、*指数分布定义：若随机变量X具有概率密度函数f(x)=0,00,xxex，其中λ0是常数，则称X服从以λ为参数的指数分布。指数分布的应用：无线电元件的使用寿命，动植物的寿命，随机服务系统的服务时间等都服从指数分布例5：设X服从参数为3的指数分布，求（1）X的概率密度，（2）P{X≥1}，（3）P{-1X≤2}解：（1）X的概率密度f(x)=0,00,33xxex（2）P{X≥1}=理解均匀分布的概念举例计算了解指数分布的概念讲授法板书《概率与数理统计》10—§2-2连续型随机变量及其概率密度（共6页）第5页=313131)(3)(eedxedxxfxx（3）P{-1X≤2}=6203203211)(3)(eedxedxxfxx四、技能学习（20分钟）例1、设随机变量Y服从(1,6)上的均匀分布，求一元两次方程x2+Yx+1=0有实根的概率。解：因为当Δ=Y2-4≥0时，方程x2+Yx+1=0有实根，故所求概率为P{X2-4≥0}=P{X≥2或X≤-2}=P{X≥2}+P{X≤-2}而X的密度函数为f(x)=其它,061,51x，因此所求概率P{X2-4≥0}=P{X≥2}+P{X≤-2}=62)(dttf+0=54掌握分布律的性质教师提问引导学生写出答案五、态度养成认真的态度六、技能训练（16分钟）例1、设随机变量X具有概率密度f(x)=0,00,3xxAex，试确定常数A解：由AdxAedxxfx31)(103，知A=3例2：某种电子元件的使用寿命（单位：小时）X服从参数为λ=20001e的指数分布，求下列事件的概率（1）任取其中一只，正常使用达到1000小时以上（2）若任取的一只已经使用了1000小时，以后继续使用1000小时以上解：X的概率密度f(x)=0,00,2000120001xxex（1）P{X≥1000}=100020001100020001)(dxedxxfx通过实际训练，使学生理解样本的写法与含义学生练习老师巡视，解答问题《概率与数理统计》10—§2-2连续型随机变量及其概率密度（共6页）第6页=21100020001)(eex=0.6065（2）P{X2000|X1000}=}1000{}}1000{}2000{{XPXXP=21211}1000{}2000{eeeXPXP=0.6065本例中的两问概率值相等，这不是巧合，而是指数分布的一个特点：没有记忆性。这一特征的一般叙述是：对于某些寿命相当长的考察对象，在已经有了较长时间T的经历后，能再持续△T的概率与前面的时间T无关。这相当于忘记了前面时间T中的经历。有人称指数分布为永远年轻的分布。七、课堂小结（3分钟）本节主要讨论了连续型随机变量的研究工具，概率密度函数。我们可以通过概率密度曲线与某段区间所围图形的面积大小来表示随机变量在某个区间取值的概率。这样可以方便地研究连续型随机变量。常用的分布有均匀分布、指数分布，还有第四节的正态分布。概括总结，帮助学生构建知识体系简要概括本节内容八、布置作业（1分钟）复习本节内容预习分布函数P37—10、11、12巩固所学的知识培养自学能力