教案与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系重点、难点：1.重点：（1）点与圆、直线与圆位置关系的判断。（2）三角形外接圆的性质。（3）切线的识别及切线性质的应用。（4）切线长定理。（5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。（6）两圆相交、相切的性质和判定。（7）圆和圆的位置关系。2.难点：（1）直线与圆相切的性质和判定。（2）切线的判定方法：切线的性质。（3）要充分发挥基本图形在证、解题中的作用，正确恰当地根据基本规律来添加辅助线。①两圆相交，可作公共弦。②两圆相切，可作公切线。③有半圆，可作整圆；有直径，可作直径所对的圆周角。④圆与圆要心连心，即作连心线。【知识纵览】1.点与圆的位置关系点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种情况，与点到圆心的距离（d）、圆的半径（r）之间有着紧密的联系。也就是说：点与圆的位置关系，不仅可以用图形来表现，还可以由数量关系来表示，其对应关系可简明地表示如下：图形（点与圆）的位置关系数量（d与r）的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r2.直线与圆的位置关系的性质与判定设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：位置关系相离相切相交图形公共点个数012数量关系d＞rd＝rd＜r3.三角形内心与外心的区别图形名称确定方法性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边垂直平分线的交点①OA＝OB＝OC；②外心不一定在三角形的内部内心（三角形内切圆的圆心）三角形三个内角的平分线的交点①OD＝OE＝OF；②OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB4.两圆的位置关系、数量关系及识别方法设两圆的半径分别为R和r，圆心距（圆心间的距离）为d。位置关系图形公共点个数R、r与d的关系外离0dRr外切1dRr相交2RrdRr内切1dRr内含0dRr上表中，两圆内含时，如果d＝0，则两圆同心，这是内含的一种特殊情况。【典型例题】例1.⊙O的半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P点距离为1。问：P点、Q点和⊙O是什么位置关系？为什么？解：∵PO＝2＜2.5∴P点在⊙O内部Q点和O点的距离较复杂，如下图，需分类讨论。当Q点在OP延长线上时，则Q点和O点距离最大，最大距离为213。当Q点在OP上时，则Q点和O点距离最小，最小距离为211。当Q点处在Q1点和Q2点时，则QO25.，如上图所示。综上所述，Q点既可能在⊙O上，也可能在⊙O外，或在⊙O内。例2.在平面直角坐标系xOy中，当以点O'（4，3）为圆心的圆分别满足下列条件时，求其半径r的取值范围。（1）与坐标轴有惟一交点。（2）与坐标轴有两个交点。（3）与坐标轴有三个交点。（4）与坐标轴有四个交点。解：如下图，由题意，圆心O'到x轴的距离dx3，到y轴的距离dy4。（1）∵⊙O'与坐标轴有惟一公共点∴只可能与x轴有惟一公共点rdx3（2）由条件知，⊙O'与x轴相交，但与y轴无公共点34r（3）∵⊙O'与坐标轴有三个交点∴⊙O'与x轴必相交且与y轴必有公共点若⊙O'与y轴有惟一公共点，则r＝4若⊙O'与y轴有两个公共点，则其中一个公共点必为原点，故r＝5。∴所求r的值为r＝4或r＝5（4）∵⊙O'与坐标轴有四个交点∴⊙O'与两坐标轴都相交，且不过原点∴r＞4且r≠5例3.如图所示，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B。OC平行于弦AD，试说明：DC是⊙O的切线。解：连结OD因为OA＝OD，所以∠1＝∠2又因为AD∥OC，所以∠1＝∠3，∠2＝∠4因此∠3＝∠4而OB＝OD，OC公共，于是将△OBC沿OC翻折可与△ODC重合所以∠ODC＝∠OBC又BC是⊙O的切线，所以∠OBC＝90°从而∠ODC＝90°，OD⊥DC，故DC是⊙O的切线例4.如图所示，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于E，交AC于点F，P为ED延长线上一点。（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，请说明理由；（2）当点D在劣弧AC上的什么位置时，才能使ADDEDF2·。精析与解答：（1）如图所示，当△PCF为等腰三角形，PC＝PF时，PC与⊙O相切连结OC，当PC＝PF时，∠PCF＝∠PFC∵DE⊥AB，∴∠1＋∠AFH＝90°∴∠1＋∠PFC＝90°，即∠1＋∠PCF＝90°又∵OA＝OC，∴∠1＝∠2∴∠2＋∠PCF＝90°，即PC与⊙O相切于点C（2）当D为劣弧AC中点时，ADDEDF2·连结AE，∵D为AC中点，∴∠3＝∠4又∠ADF＝∠EDA，∴△ADF∽△EDAADEDDFDA，即ADDEDF2·例5.如下图，AB是半圆⊙O的直径，C为半圆上一点，CD切⊙O于点C，AD⊥CD于点D，⊙C以CD为半径。求证：AB是⊙C的切线。分析：要证AB是⊙C的切线，就是要证点C到AB的距离CE＝CD。即要证△ACD和△ACE全等。证明：过点C作CE⊥AB于点E，连结AC、BC、OC∵CD是⊙O的切线，AB是⊙O的直径∴CD⊥OC，AC⊥BC∠∠，∠∠∠∠∠∠，∠∠∠∠∠∠∠ACDACOACOOCBACDOCBOCBBBBACACEBACACDBACE90909090在△ACD和△ACE中∵∠∠，∠∠，CDACEAACDACEACAC90∴△ACD≌△ACE∴CE＝CD∴AB是⊙C的切线例6.如下图，设⊙I与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点F、D、E，连结BI、CI、ED、FD。若∠A＝60°，则∠BIC＝_________，∠EDF＝_________。分析：本题所求的两个角分别是⊙I的圆心角和圆周角。如果考虑用圆心角等性质来求。但条件不足，所以只能用三角形的内心性质及三角形的内角和定理来求。解：连结IE、IF∵⊙I是△ABC的内切圆∴∠∠，∠∠∴∠∠∠IBCABCICBACBBICIBCICB12121801801212180121801218018012120120（∠∠）（∠∠）（∠）×ABCACBABCACBA∵⊙I分别切AB、AC于F、E∴IF⊥AB，IE⊥AC∴∠AFI＋∠AEI＝180°∴∠A＋∠EIF＝180°∴∠∠∴∠∠EIFAEDFEIF180180601201260例7.如图所示，⊙O半径为R，CD为⊙O直径，以D为圆心。r为半径的圆与⊙O相交于A、B，BD的延长线交⊙D于E点。求证：rRAE2·证明：本题中的⊙O经过⊙D的圆心，是一种特殊相交，则连接AD。可知AD即为⊙O的弦，又为⊙D的半径，两圆相交可作公共弦，连接AB，对R、r进行选择，然后用三点定形找到共边型的相似三角形。连结AD、AB、OA、AC∵∠∠，∠∠AODCADEB22又∵∠C＝∠B∴∠AOD＝∠ADE∵△AOD与△ADE都是等腰三角形且顶角相等∴它们的底角也相等，即∠ADO＝∠DAE∴△AOD∽△ADE∴ADAEAOAD（相似三角形对应边成比例）∴·ADAOAE2即rRAE2·例8.已知：如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s速度运动。P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：（1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形？等腰梯形？（2）当t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切？相交？相离？精析与解答：（1）四边形PQCD为平行四边形时，只要PD＝CQ即可；四边形PQCD为等腰梯形时，则要PQ＝CD，PD≠QC当QC＝PD时，有324tt，解得t＝6∴当t＝6s时，四边形PQCD为平行四边形过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F（如图甲所示），则由等腰梯形的性质可知EF＝PD，QE＝FC＝2，QC－PD＝43244tt，解得t＝7∴当t＝7时得四边形PQCD为等腰梯形甲（2）讨论动直线PQ与⊙O的位置关系，关键是要抓住直线PQ与⊙O相切时的情况计算出t的值，加以分析推理可以得出PQ与⊙O相交、相离时t的值。设运动ts时，直线PQ与⊙O相切于点G，过P作PH⊥BC，垂足为H（如图乙所示）乙∴PH＝AB，BH＝AP即PH＝8，HQ＝26－4t由切线长定理，得：PQAPBQttt263262由勾股定理，得：PQPHHQ222即2628264222tt得3261602tt，解得tt12238，∵t＝0时，PQ与⊙O相交，当ts823时，Q点运动到B点，P点尚未运动到点D，但也停止运动，此时PQ直线与⊙O相交t23或8s时，直线PQ与⊙O相切；当023t或8823t时，直线PQ与⊙O相交；当238t时，直线PQ与⊙O相离。例9.如图甲所示，施工工地的水平面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是多少？甲精析与解答：如图乙所示，连结OOOO1312，乙设⊙O1与⊙O2外切于点A，则OAOO312⊥在RtOAO13中，OOOA131112，OAOOOA31321232∴最高点C到水平面的距离CBOAAB32321例10.如图所示，两等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且两圆互过圆心，过B作任一直线，分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点，连结AC、AD。（1）试猜想△ACD的形状，并给出说明。（2）若已知条件中两圆不一定互相过圆心，试猜想三角形的形状是怎样的？说明你的结论成立的理由。（3）若⊙O1，⊙O2是两个不相等的圆，半径分别为R和r。那么（2）中的猜想还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，那么AC和AD的长与两圆半径有什么关系？说明理由。精析与解答：（1）△ACD为等边三角形理由：因为两圆是等圆，且互相过圆心，连结AOAOBOBOOO121212、、、、则AOAOBOBOOO121212所以∠∠AOBAOB12120所以∠ADB＝∠ACB＝60°所以△ACD为等边三角形（2）△ACD为等腰三角形理由：因为两圆是等圆，连结AOAOBOBO1212、、、则AOAOBOBO1212所以∠∠AOBAOB12所以∠ADB＝∠ACB所以△ACD为等腰三角形（3）不成立，此时ACADRr如图所示，分别作⊙O1、⊙O2的直径AE和AF分别交两圆于E、F点，连结CE、DF、AB，则∠ACE＝∠ADF＝90°∵∠∠，∠∠∴∠∠∵∠∠，∴∠∠ABDABCABCAECABDAECABDAFDAECAFD180180∴△ACE∽△ADF∴ACADAEAFRrRr22【模拟试题】（答题时间：80分钟）一.选择题（每小题4分，共24分）1.下列语句不正确的是（）A.过一点可以作无数个圆B.过两点可以作一个圆C.过任意三点都可以作一个圆D.过任意四个点不一定能作圆2.⊙O的直径是8cm，直径l和⊙O相交，圆心O到直线l的距离是d，则d应满足（）A.dcm8B.48cmdcmC.04cmdcmD.dcm03.如图所示，P是⊙O外一点，自P点向⊙O引切线PA，PB，切点为A，B，CD切⊙O于E，交PA，PB于C，D，若PA＝20，则△PCD的周长为（）A.20B.30C.3012D.404.设△ABC的内切圆的半径为2，△ABC的周长为4，则△ABC的面积为（）A.2B.4C.6D.85.两圆半径分别为5和3，d为圆心距，当28d时，两圆的位置关系是（）A.外切B.内切C.外离D.相交6.如图所示，AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A＝50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是（）A.65°B.1