教案双曲线的几何性质

学科数学开课教师张志勇开课班级高二（9）开课地点本教室课题双曲线的几何性质（苏教版选修2-1）个人简介中学一级教师，教育硕士，近年来在省级以上教育刊物发表文章十余篇，本人的教育教学理念是：数学教学要让学生看到数学建造过程的“脚手架数学”，展示数学的发现过程，让学生在数学活动过程中，体会到学习数学的快乐，真切体悟到数学的美．课程介绍双曲线作为一种重要的数学模型，通过该内容的学习，一方面可以渗透解析几何的基本思想，突出解析几何的主要研究方法，体现曲线与方程的关系；另一方面，可以培养学生的直觉判断、类比猜想等非逻辑思维能力。研究目的通过本课题的研究，让学生初步学会用实验的方式“做”数学，在数学活动中学会知识、锻炼能力，在改变学习方式的同时改善数学学习信念。教学设计一、教学目标知识与技能1、给定双曲线方程，能正确写出有关几何元素，包括顶点、焦点、实轴虚轴长、离心率、渐近线方程等，认识相关元素的内在联系。2、给定相关几何元素，正确得出相应的双曲线方程。3、理解离心率、渐近线对双曲线张口大小的影响，能正确说出其中的规律。过程与方法1、在经历一个较完整的数学问题探求过程中，提高学生的观察猜想和验证能力2、在椭圆与双曲线性质的类比过程中，提高学生的归纳能力。3、在几何性质探求过程中，培养学生曲线方程思想和意识情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念．二、教学重点、难点教学重点：双曲线的离心率和渐近线教学难点：双曲线的离心率对双曲线的刻画，渐近线的含义及离心率与渐近线斜率间的联系三、教学准备学生熟练掌握椭圆、双曲线的定义标准方程及椭圆的几何性质，认识椭圆和双曲线的内在联系，并掌握几何画板的一般操作步骤。教师制作易于学生发现和掌握规律的几何画板实验平台（具体内容详见网络硬盘）四、教学过程4．1创设情境，引入课题复习1、双曲线的概念及标准方程122PFPFa，22221xyab或22221yxab（其中222bca）（让学生适当举例）复习2、椭圆的几何性质范围,xayb对称性关于坐标轴对称，关于原点中心对称顶点,0,0,ab离心率cea刻画椭圆扁平程度的几何量，表示焦点离开中心的程度。动画演示平面截圆锥面的过程、椭圆双曲线的生成过程，让学生进一步体会两曲线的内在联系，从而激发探究本课题的动机。4．2活动探究，认识性质1、范围、对称性、顶点的探求结合椭圆的性质，让学生类比猜想得出双曲线的相关性质（范围此阶段限于xa），并结合方程加以数学的验证。2、双曲线的离心率结合学生的举例利用几何画板画出相应的图形，让学生认识到双曲线从形状上来看有开口大小之分并提出进一步探究方案；在静态图形观察的基础上进行双曲线的动态变化（具体方式可以为a不变，将c逐渐增大），从而认识到离心率可以刻画双曲线的开口大小，并得出规律（离心率越大，开口越小）。3、双曲线的渐近线在问题（问题1：如何作一双曲线（离心率只是一种感性认识难以外显）？问题2：函数1yx、1yxx的图象也是双曲线，如何作其图象？）引导下，学生认识到双曲线的渐近线的概念；在几何画板平台中作两条关于y轴对称的直线，并将它们绕着原点旋转，从而真实感受到渐近线的存在，并发现双曲线夹在两条渐近线之间。从平面区域范围的认识，结合方程的推导，发现渐近线方程为0xyab、0xyab；通过几何画板平台中双曲线上的点到相应渐近线距离的刻画，真实感受到双曲线上的点“越来越接近于直线byxa”，结合理论推导体会极限思想。在如何作渐近线的思考下，结合图形的观察，学生发现利用直线xa、yb所围成的矩形，可以方便地作出双曲线的渐近线，从而在引出实轴、虚轴的概念的同时，也为学生双曲线的作图提供了一种规范。在探究的基础上，由师生共同完成下表，从而对双曲线的几何性质有一整体认识。椭圆双曲线范围,xaybxa，夹在两条渐近线之间对称性关于坐标轴对称，关于原点中心对称关于坐标轴对称，关于原点中心对称顶点,0,0,ab,0a，,ab分别为实半轴长、虚半轴长离心率cea越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆。cea越大，双曲线开口越扁狭；e越小，双曲线开口越开阔。渐近线方程为byxa4．3应用举例，加深理解例1、求双曲线22143xy的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程。通过此例，使学生进一步感受双曲线的一些几何量之间的联系，从而体会曲线与方程之间的联系。例2、已知渐近线方程为43yx，焦点坐标为26,0,26,0的双曲线方程。通过几何画板的演示，使学生认识到有共同渐近线的双曲线系的特点，从而会根据渐近线方程设双曲线系方程。练习：求与双曲线221916xy有公共的渐近线，且经过点3,23A的双曲线的方程。4．4归纳总结，认识升华在学生总结的基础上，将几何性质进行横向比较和纵向联系。一方面让学生认识渐近线斜率与离心率的关系即2221bcaeaa，从而认识到两者影响双曲线开口大小的共同规律；另一方面，通过几何画板的演示，将离心率对椭圆、双曲线的图形影响的共性和特性揭示出来。五、课后巩固书本41P练习2，3，4习题1，3六、板书设计（略）