教案平面向量的分解定理

112月4日（周二）上午，教研员探索实践课教案课题：平面向量的分解定理浦东教育发展研究院恽敏霞教学目标：1．掌握平面向量分解定理，理解定理的深刻涵义；2．经历给定向量在一组基底上唯一分解的过程，体验选择适当的基在解决问题过程中带来的便捷，理解基的作用；3．通过化归，感受数学体系与方法的完美严谨.教学重点：平面向量分解定理的推导与理解.教学难点：平面向量分解定理的理解与应用.教学过程：一、复习引入1．向量的正交分解（本章已学知识）2．力的分解（高一物理学习内容）3．如果任给两个不平行的向量1e，2e,向量a为平面上任意一个向量，试问a能否表示为1e，2e的线性组合？二、定理研究若a能表示为1e，2e的线性组合，即存在实数1，2，使得2211eea.一个向量要为两个向量的和，有什么办法？（平行四边形或三角形）.因为向量可以平移，不妨将以上三个向量平移使其共有起点O.OBOAOPa（平行四边形法则）记2211,eOBeOA，所以2211eea将一个向量a表示成两个向量线性组合的过程称为向量的“分解”．1．2211eea，是否还有其它分解？（假如2211eea，则一定有：2211,.分解唯一）2．若a与1e，2e中的一个平行，如何分解？（假定a//1e，210eea）3．将0分解为1e，2e的线性组合.1FG2Fa1e2ePBAO2平面向量分解定理：如果1e，2e是同一平面内两个不平行的向量,那么对于这一平面内的任意．．向量a,有且只有．．．．一对实数1、2，使2211eea.问题：若1e与2e平行，如何分解？（平面上与1e、2e不平行的向量不能分解）把不平行的两个向量1e，2e称为这一平面所有向量的一组“基”（base）.（平行的两个向量不能作为一组“基”.）记平面上水平方向和垂直方向的单位向量为i、j，用作图法以1e，2e为基分解i、j.三、定理应用例1．ABC中,ABAD41,BCDE//,且与边AC相交于点E,ABC的中线AM与DE相交于点N,设aAB,bAC,将向量AE,DE,DN,AN表示为ba,的线性组合.说明：确定了基ba,后，平面上所有的向量均可以用ba,的线性组合表示，方便后续进一步研究.例2．如图，若ABkAP，将OP表示为OA与OB的线性组合.（课本P67页）若P、A、B满足OBOAOP且1.是不是可以得到P、A、B三点共线？四、拓展研究已知三角形ABC中,G是重心.请填空并完成解答，推断结论.解：设AFAG,因为)(21bcAF,所以AG________,又设BEBG,因为cbBE21,所以BG________,而cBGAG____________.由平面向量的分解定理得：.1e2eOOPAB1e2eO3本题的结论是三角形重心的一个重要性质：AFAG=32说明：希望学生能知道本题的解题思路是,对向量AG在基b、c上进行分解,由于不同的参数可得出不同的分解形式.由平面向量分解定理分解的唯一可得出两个方程组,通过解方程便能得出结果.本题的目的是帮助学生理解基底和平面向量分解定理.（备用：已知平行四边形ABCD中,E、F是对角线A、C上的两点，且ACFCAE41，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形.证明：设aAD,bAB，则abaACADAEDE434141abACbAFABFB434143.所以FBDE,四边形DEBF是平行四边形.说明：由平面向量的分解定理可知向量FB及DE用一组基来唯一表示,要证明四边形DEBF是平行四边形,只要证明FB及DE用相同的基表示出来的线性组合相同.）五、课堂小结1．平面上任意两个不平行的向量都可以作为一组基；2．平面上任意一个向量都可以有无穷多种分解，且对给定的一组基的分解唯一；3．通过分解，平面上的向量可以归纳为两个向量进行研究.六、作业布置练习册：A组/2，3，5；B组/1，2教学设计说明：本课教学内容为新教材第八章8.3节内容.平面向量分解定理是研究向量的基本定理，在其基础上一个向量能和一个有序数对建立一种对应关系，从而给出向量坐标具有合理性.本节课建立“基”的概念，是数学学科的一个重要思想.根据对教材和内容的理解，本节课的教学设计紧紧围绕“分解”展开，通过作图分解、线性组合表示学会任意向量的分解，通过解决问题体验分解的作用，设置问题研究加深对定理内涵的理解，以达到课堂教学目标.42007．12．1jyixa