教案平面向量的分解定理

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112月4日(周二)上午,教研员探索实践课教案课题:平面向量的分解定理浦东教育发展研究院恽敏霞教学目标:1.掌握平面向量分解定理,理解定理的深刻涵义;2.经历给定向量在一组基底上唯一分解的过程,体验选择适当的基在解决问题过程中带来的便捷,理解基的作用;3.通过化归,感受数学体系与方法的完美严谨.教学重点:平面向量分解定理的推导与理解.教学难点:平面向量分解定理的理解与应用.教学过程:一、复习引入1.向量的正交分解(本章已学知识)2.力的分解(高一物理学习内容)3.如果任给两个不平行的向量1e,2e,向量a为平面上任意一个向量,试问a能否表示为1e,2e的线性组合?二、定理研究若a能表示为1e,2e的线性组合,即存在实数1,2,使得2211eea.一个向量要为两个向量的和,有什么办法?(平行四边形或三角形).因为向量可以平移,不妨将以上三个向量平移使其共有起点O.OBOAOPa(平行四边形法则)记2211,eOBeOA,所以2211eea将一个向量a表示成两个向量线性组合的过程称为向量的“分解”.1.2211eea,是否还有其它分解?(假如2211eea,则一定有:2211,.分解唯一)2.若a与1e,2e中的一个平行,如何分解?(假定a//1e,210eea)3.将0分解为1e,2e的线性组合.1FG2Fa1e2ePBAO2平面向量分解定理:如果1e,2e是同一平面内两个不平行的向量,那么对于这一平面内的任意..向量a,有且只有....一对实数1、2,使2211eea.问题:若1e与2e平行,如何分解?(平面上与1e、2e不平行的向量不能分解)把不平行的两个向量1e,2e称为这一平面所有向量的一组“基”(base).(平行的两个向量不能作为一组“基”.)记平面上水平方向和垂直方向的单位向量为i、j,用作图法以1e,2e为基分解i、j.三、定理应用例1.ABC中,ABAD41,BCDE//,且与边AC相交于点E,ABC的中线AM与DE相交于点N,设aAB,bAC,将向量AE,DE,DN,AN表示为ba,的线性组合.说明:确定了基ba,后,平面上所有的向量均可以用ba,的线性组合表示,方便后续进一步研究.例2.如图,若ABkAP,将OP表示为OA与OB的线性组合.(课本P67页)若P、A、B满足OBOAOP且1.是不是可以得到P、A、B三点共线?四、拓展研究已知三角形ABC中,G是重心.请填空并完成解答,推断结论.解:设AFAG,因为)(21bcAF,所以AG________,又设BEBG,因为cbBE21,所以BG________,而cBGAG____________.由平面向量的分解定理得:.1e2eOOPAB1e2eO3本题的结论是三角形重心的一个重要性质:AFAG=32说明:希望学生能知道本题的解题思路是,对向量AG在基b、c上进行分解,由于不同的参数可得出不同的分解形式.由平面向量分解定理分解的唯一可得出两个方程组,通过解方程便能得出结果.本题的目的是帮助学生理解基底和平面向量分解定理.(备用:已知平行四边形ABCD中,E、F是对角线A、C上的两点,且ACFCAE41,试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形.证明:设aAD,bAB,则abaACADAEDE434141abACbAFABFB434143.所以FBDE,四边形DEBF是平行四边形.说明:由平面向量的分解定理可知向量FB及DE用一组基来唯一表示,要证明四边形DEBF是平行四边形,只要证明FB及DE用相同的基表示出来的线性组合相同.)五、课堂小结1.平面上任意两个不平行的向量都可以作为一组基;2.平面上任意一个向量都可以有无穷多种分解,且对给定的一组基的分解唯一;3.通过分解,平面上的向量可以归纳为两个向量进行研究.六、作业布置练习册:A组/2,3,5;B组/1,2教学设计说明:本课教学内容为新教材第八章8.3节内容.平面向量分解定理是研究向量的基本定理,在其基础上一个向量能和一个有序数对建立一种对应关系,从而给出向量坐标具有合理性.本节课建立“基”的概念,是数学学科的一个重要思想.根据对教材和内容的理解,本节课的教学设计紧紧围绕“分解”展开,通过作图分解、线性组合表示学会任意向量的分解,通过解决问题体验分解的作用,设置问题研究加深对定理内涵的理解,以达到课堂教学目标.42007.12.1jyixa

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