教案《指数扩充及其运算性质》

陕西省西安中学附属远程教育学校第1页共3页§2指数扩充及其运算性质2.1指数概念的扩充一、教学目标：1、知识与技能（1）在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念．（2）能够理解引入分数指数概念后ma（0a）表示实数．2、能力与方法（1）让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．3、情感．态度与价值观：使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义增强学习数学的积极性和自信心．二、教学重点:理解分数指数幂的概念及表示．教学难点：分数指数的引入．三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。四、教学过程：（一）新课导入【教学互动】请同学们回顾复习整数指数幂的定义，并填写下面结果：an=a0=（a≠0）a-n=（a≠0，n∈N+）思考：某养牛场养的某头肉牛现在重量是20kg，经过一年该肉牛体重可以增长50%，（1）写出该肉牛经过x5x年后体重y关于x的函数关系式；（2）当时间是半年或一年零三个月时，肉牛的体重是多少？陕西省西安中学附属远程教育学校第2页共3页这就给我们提出问题：2123具有实际意义，那么指数是分数时指数幂意义是什么？（二）新知探究（Ⅰ）分数指数幂：若已知a3=27则3a，我们也可以用分数指数幂表示为13273a．1．a的1n次幂:一般地，给定正实数a，对于给定的正整数n，存在唯一的正实数b，使得nba，我们把b叫做a的1n次幂，记作1nba．2．分数指数幂:一般地，给定正实数a，对于任意给定的整数nm，，存在唯一的正实数b，使得bn=am，我们把b叫做a的mn次幂，记作mnba，它就是分数指数幂．例如：32b7，则23b7；53x3，则35x3等．注：我们也把nma写成nma，即nma=nma例1．把下列各式中的b写成正分数指数幂的形式：5455m2n(1)b32;(2)b3;(3)bm,nN练习1：把下列各式中的x写成正分数指数幂的形式：（1）5x64；（2）2n3x45(nN)例2．计算：（1）1327；（2）324解：（1）因为3327，所以1327=3；（2）因为3248，所以324=8练习：计算（1）1532；（2）2327请同学们回顾负整数指数幂的定义，能否类似地引入负分数指数幂呢?正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mnmn1a(a0,m,nN,n1)a;陕西省西安中学附属远程教育学校第3页共3页说明:（1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．（2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数推广到有理数．当我们把正整数指数幂推广到有理指数幂mna或mna(m,nN)时，对底数a应有所限制，即a0．（3）对于每一个有理数我们都定义了一个有理指数与它对应，这样就可以把整数指数函数扩展到有理指数函数，得到一个定义在有理数集上的指数函数．例3．把下列各式中的b写为负分数指数幂的形式：5455m2n(1)b32;(2)b3;(3)bm,nN解：（1）15b32；（2）54b3；（3）b=2n5m例4．计算：（1）138；（2）2327解：（1）因为328，所以131311828；（2）因为23279，所以23231127927．练习:1，2，（Ⅱ）有理指数幂思考交流：请同学们阅读教材65页至66页理解指数可以扩充到全体实数后有意义吗？（三）小结:1．正整数指数幂→负整数指数幂→整数指数幂→正分数指数幂→负分数指数幂→分数指数幂；2．正整数指数函数→整数指数函数→有理数指数函数；3．若bn=am，则我们把b叫做a的mn次幂，记作mnba，且nma=nma