建模和动态

建模和动态自持静电微机电系统本文论述了自我维持的静电微机电系统模型的研究(MEMS)。电气部分包含两个非线性组件：具有负斜率的电流-电压特性，和非线性电阻电容器，具有立方形式作为电荷-电压特性。模态近似和有限差数值格式用于分析动态该系统的行为：共振振荡和分岔图导致混乱被观察到的极化电压的一些值。的应用程序的提示装置给出。[DOI:10.1115/1.4000827]关键词：自持静电MEMS谐振振荡，混沌1介绍由于理查德·费曼给出的谈话题为“有足够的空间在底部“在加州技术研究所1959年12月。[1]，微观科学界已经出现了越来越大的兴趣。时下，技术的进步已启用工程系统的制造降低到微米和纳米尺度。它们是由（机械分支，梁，板，齿轮，和膜）和微电子为电路电气分公司。为此原因，这些系统一般都是称为微机电系统(MEMS）或纳机电系统(NEMS)两个基本的方法用于在MEMS技术。用于感测应用中，一个直流偏振被施加到系统[2]。当目标被周期性地找到或随机，机械手臂（这是一个移动电极平行板电容器）,直流构成的电信号的极化和交流分量被用来激发谐波运动或复杂的动力学[3-11]。直流电流是用来实现梁的永久位移。MEMS器件的应用程序被发现在国防，医疗手术，汽车行业，和生物学。尽管取得了成功，许多基本问题仍持有注意。一些当前的问题如下：拉入现象时，挤压阻尼，并且非多项式形成静电力。在大多数现有的MEMS的，如该电压加在电容器两端直接施加（医学部分）所得的静电力是一个双曲线函数机械位移。为了分析调查，1通常由一个多项式函数近似的静电力截短在第一阶段，第二阶段，或第三阶段[3–8,10,11]用于优化目的，在电极之间的间隙被最小化和梁[梁制作电极的大小最大化]。这一事实使挤压膜阻尼更多的效果宣判。因此，该装置的建模方程是更为复杂。尤尼斯和Nayfeh认为[6,12]最近提出一个稳健的方法研究这些MEMS结构体的行为。该方法是基于有限元法和扰动技术。拉入现象定义了操作条件，导致该装置的不稳定。也有不少贡献关于这个问题，经常性解决方案是基于参变激励，所建议的罗兹等人。[11]和克雷洛夫和同事[2,10]。然而，反馈控制算法也用在该目标[8]。当MEMS和NEMS提交给交流信号，这些都显示很复杂的行为[3,4,7–11]的复杂性是在机械和传感部件的非线性的结果。能有这样的复杂性的一种方法是引入或考虑到帐户的电器元件的非线性特性的设备。近日，TaffotiYollong和纬[13]提出了由一个杜芬电振荡器耦合到钳位钳位柔性梁的实施方案的模型看作移动线性电容的电极。他们提出的系统的行为的丰富性和对在这样的MEMS的移位不变网络的完整的同步的条件。本文件的目的是模拟和学习的自我维持微机电系统，其中所述自持振荡从电气部件始发的行为。事实上，导致形式微显示积分用自我维持的可能性电子电路在机电装置，以执行其运作;采用合适的电路范德波尔和瑞利振荡器[14-16]。这些最初的研究指导下，正考虑本文自激MEMS电容式耦合。该装置动力学建模表明，它是由偏微分方程描述（柔性梁或手臂）耦合到非线性微分方程（电电路）通过使用伽辽金模式的做法，一组两个耦合微分方程得到，并且构成的基础对于该数值研究的分析和零件。这是辅之以通过有限差分法离散偏微分方程的直接数值模拟。重点是在共振和分岔图就振荡显示周期性的动态和混乱状态的地区。本文的要点如下：第2节论述了使用动态牛顿定律和基尔霍夫定律器件建模。在秒。如图3所示，模态近似进行和有限差分数值方案。该器件的动态行为二段进行了分析。4，使用多时间尺度方法和数值模拟。我们的结论在秒。5，给应用程序的设备和它的一些提示在工程动力学行为0。2自持静电MEMS2.1自持静电电路该装置是呈现在图非线性电路的1.构成和板状电容器与一个光束固定，另一柔性。图1自持的MEMS电气部分由非线性电阻NLRA非线性电容NLCC和电感器L，所有连接在系列。电容器两端的电压是一个非线性函数瞬时电荷q并表示为01cVCq+33aq（1）其中0C是电容器的线性部分的电容和3a为非线性系数取决于电容器的类型[17]电阻器的电流-电压特性被给定为3000013RiiVRiii（2）其中0R，0i是特征电阻和电流，分别与/idqd是电流通过电阻器。此非线性电阻器可以用由两个块来实现晶体管[18],一系列二极管[19],或运算放大器和二极管[20]与此电阻，该系统具有的属性，以具有自激振荡。电感器的电流-电压特性是LdiVLd（3）表示的是时间。除了上述电气元件，也有一个从机械部分的到来。实际上，如跨越电容器的光束的电势发生变化，柔性板振动。因此，光束之间的间隙变化时，诱导变化的静电势[13]由下式给出0ˆtotaltotalbeamQQgVCS（4）其中totalQ总的横梁，0ˆ/CSg之间的总电荷是平板电容器的电容，g是变形在电极之间的间隙，ˆ是空气的介电常数，和0S是各波束的面积。对于该装置，beamV可以改写为01,1beamWXQqVCg(5)其中W是柔性梁，10ˆ/CSg的横向偏转是板电容器的电容值(W=0),g=0.1m是未变形的差距，0Q是充电由于极化电压0U。32230201111,QqdqadqdqLbqaqWXdbddCCCg（6）当203ai时，200/3bRi。2.2机械臂机械手臂是30.20.10.15m微杨氏模量9215810ENm和质量密度32330Kgm的钳位钳位梁[5]其动力学是由下面的等式描述[21]：2424,（7）其中I是转动惯量，/W是所产生的负载从电极之间的挤压空气膜见参考文献。（为[2]推导）,和,FX表示每单位的静电力给出的光束的长度2011ˆ,2QqFXCgl（8）其中l图1是梁的长度。同的电位式中的表达（5）,静电负荷，这是假定小在本文中，与不变化束偏转。的边界条件被给定为[22],0WX和,0WXX在最后端点（9）这表示，该位移和旋转被限制到零，在该端部。3模态方程和数值计划为了便于分析，我们使用无量纲变量0/YWl，1/xXl，(/)((1/)(/))qqQQab，t（221(/)(/)mklEIS公里的数值将在随后给出）并且0/4lg定义为一个特征长度。方程的新形式的装置是这样2222310021dqdqdqqqYqQdtdtdt（10）242221124YYYaqQttx（11）并且0021lgLC,2120112QgllCS，20201111LCC121mak，0QQQ为了避免拉入不稳定，机械位移应该少，该未变形的间隙距离g，即，4Y。边界条件也转化为,0Yxt和,0Yxt在最后的端点（12）3.1配方中的模态逼近的有该系统的一些数学分析，模态的方法是必要的。束的横向偏转被分解以下表格：m1,mmYxtytx（13）myt是每个模式的时间相关函数和是形函数的无阻尼式求出mx2421240YYatx（14）用公式给出的边界条件（12）代入导致模式分解公式。（10）和（11）和预测回到第i个模式[15,16]得到方程如下设置：222310021mmdqdqdqwqqyqQdtdtdt（15）22212mmmmdydyyqQdtdt（16）伴随着100,1immxdxi并且sinsinhcoscoshsinsinhcoscoshmmmmmmmmmkkXkXkXkXkXkk(17)常数mk是超越方程的解coscosh10mmkk(18)3.2有限差分算法为了得到方程的数值解。(10)与(11)，我们使用有限差分由KitioKwuimy和Woafo[15,16]定义方案。在这种尊重，我们把无量纲梁长n在正区间的长度xh，例如，1/xhn。另外，根据时间离散的单位长度th。因此，我们可以写成1ixxih和jttjh，其中i和j是整数变量。因此，方程，（10）和（11）成为222310021ijdqdqdqwqbqYqQdtdtdt(19)2112314225111ijijijijijijijAYAYAYAYYAYYqQ(20)因为2,..,in并且jN所以2121112Ahh，224126xaAhh，2321112Ahh，244xaAh，544AA临界条件是110jnjYY，02jjYY并且，2njnjYY（21）人们可以表明离散格式是稳定的，如果2242181114txhhh（22）并且22th数学和的数值分析的一部分系统是基于方程（15）和（16）我们限制了分析第一模式m=1。从模态分析中得到的结果由方程的数值模拟和传统。（19）和（20）与0.1xh和羟色胺0.001th，以确保根据方程离散化方案(22)的稳定性。4设备的动力学行为4.1共振态在微机电系统的应用，如致动，以非共振运动占优势相比，谐振动作是作为共振能量用。因此，在该部，所述MEMS在方程的谐振条件。（11）和（10）将通过多个时间尺度方法来测定[21]我们用下面的分解：2100100010(,),qqTTqTTO(23)200101010,,mmmyyTTyTTO(24)其中0Tt和10Tt是快(相关的系统)和慢关联引起全球一阶扰动的幅度和相位调制秤，分别和0是小量纲参数。使用形式主义描述和文献密集使用。[21],可以证明即在零级，0q和0my可作为000001,exp2qTAJTCC(25)00001,exp2myTBJTCC(26)其中，CC代表每个前述的复共轭术语，21J，A和B是复杂的功能，这是以后确定。在第一顺序，可以得到2222010110001001323expDqqJAAAJDAAAJT330000001000expexp(1)exp1exp3mJQBJTABJTABJTJAJTCC(27)20112102expmmDyyJBJDBJT22100exp222expmAJTAAAQJTQCC(28)其中00/DddT和11/DddT。这些方程的分析显示了两个有趣的共振态，其中柔性梁振动。4.1.1第一谐振状态第一谐振状态出现在01在是失谐参数定义的接近程度吗0和机械微束的固有频率。在这种状态下世俗条件对应于以下由A和B满足耦合的差分方程：2201100021330mjDAjAAAAAJQB(29)121220mJDBJBAQ(30)在极坐标形式表达A和B11exp2Aaj(31)21exp2Bbj(32)其中，a和1b和2是幅度和相位根本的解决方法，分别为，我们得到如下设置的一阶微分方程的振幅和阶段：22010031sin242mQbadaadt(33)21sin2mbdbaQdt(34)210003cos82mmQaQbdadtba(35)12是0q和0my之间的相位差。该a和b的固定值如下代数方程的解