建筑力学3轴向拉伸和压缩

105第3章轴向拉伸和压缩一、基本要求１．熟练掌握截面法求轴力，绘轴力图。２．掌握轴向拉、压杆的强度计算。３．熟练掌握轴向拉、压时的胡克定律及变形、位移计算。４．了解弹性模量Ｅ、泊松系数μ。５．了解材料力学性能的主要指标。６．熟练掌握一次超静定杆系的求解。７．掌握“用切线代替圆弧”法求简单珩架节点位移的方法。二、内容提要１．轴向拉伸（压缩）的力学模型（图１）受力特点作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合。变形特点杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。２．内力定义在外力作用下，杆件内部各部分之间的相互作用力。根据连续性假设，内力是连续分布于截面上的分布力系。分布力系的合力（或合力偶）简称为内力。轴力轴向拉压时，杆件横截面上分布力系的合力的作用线与杆件轴线重合，故称为轴力。用符号Ｎ表示，单位为牛顿（Ｎ）。拉力为正，压力为负。轴力图表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。３．应力定义杆件截面上某点处分布内力的集度称为该点处的应力P。正应力垂直于截面的应力分量，用符号σ表示。剪应力切于截面的应力分量，用符号τ表示。１）拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上只有正应力σ，且为均匀分布，其计算公式为式中Ｎ为该截面的轴力，Ａ为横截面的面积。ANPPPP图１106正负号规定拉应力为正，压应力为负。２）拉压杆斜截面上的应力（如图２）拉压杆任意斜截面（α面）上的应力为均匀分布，其计算公式为全应力pα＝σcosα正应力σα＝σcos2α剪应力τα=正负号规定：α由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。拉应力为正，压应力为负。对脱离体内一点产生顺时针力矩的为正，反之为负。４、材料的力学性能１）胡克定律：σ＝Ｅε２）弹性极限σe、比例极限σp、屈服极限σs和强度极限σb。３）延伸率δ、断面伸缩率ψ。５、拉压杆的强度条件式中[σ]为杆件材料的许用应力，塑性材料：脆性材料：其中ns，nb称为安全系数。６、拉压杆件的变形计算１）变形杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短（如图３）；受到轴向压力ｂｂn][SSn][ANαατασαPPPxmnmn图2107时，轴向缩短，横向伸长。轴向绝对变形：lll1轴向线应变：ll横向绝对变形：bbb1横向线应变：bb'２）胡克定律的第二种形式：EANllＥＡ称为杆件的抗拉压刚度。对于Ｎ或Ａ沿杆轴线ｘ变化的拉压杆件，其轴向变形应分段计算后再求代数和，或按积分计算（当Ｎ与Ａ随轴线ｘ连续变化时）：７、轴向拉伸或压缩的变形能杆件在外力作用下因变形而存储的能量，称为变形能。在线弹性范围内，杆件轴向拉伸或压缩时的变形能为：变形比能杆件单位体积内储存的变形能。轴向拉压时的弹性变形比能为：８、拉压超静定问题在拉压杆件结构中，当未知约束力数多于独立的平衡方程数时，称为超静定问题。求解超静定问题需要综合静力平衡方程、变形协调方程和物理方程。一般步骤如下：（１）分析结构的约束力数和独立平衡方程数，确定超静定次数；（２）根据结构的约束条件作出变形位移图，建立变形协调方程；（３）根据物理条件，即变形与力的关系，将杆件变形用载荷及未知约束力表示，并代入变形协调方程，得到补充方程，与静力平衡方程联立LbbPPL11图3lxEAdxxNlEAlNlPU221221108解之。三、典型例题分析例１如图所示，一变截面圆钢杆ABCD。已知Ｐ1=20kN，P2=35kN，P3=35kN，L1=L3=300mm，L2=400mm，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm，弹性模量E=210GPa。试求：1．I-I，II-II，及III-III截面上的轴力，并作AD杆的轴力图；2．杆的最大正应力σmax；3．B截面的轴向位移uB及AD杆的伸长ΔLAD；解：１．求轴力及画轴力图用截面法分别在I-I、II-II及III-III截面处将杆件截开，保留右边部分，截面处都加正方向的轴力N1-1、N2-2及N3-3。图b分别表示三个保留部分的受力图。由轴向静力平衡条件，分别可求得：LL3IIIDIII2II3C3dPII1dL1IB2dIP21PAIIP1IIIIP2P1IIIIII3PBP2P1ANNN1-12-23-3(+)(-)x20kN15kN50kNoN(a)(b)(c)例1图109MPa8.176max其中“－”号的轴力表示压力。显然N1-1、N2-2、N3-3分别表示了AB、BC、CD段杆内任意截面上的轴力，因此其轴力图如图C所示。２．求最大正应力σmax可见最大正应力发生在AB段，即３．B截面的轴向位移uB及AD杆的伸长ΔLAD例２刚性梁ＡＢＣ由圆杆ＣＤ悬挂在Ｃ点，Ｂ端作用集中载荷Ｐ＝25kN，已知ＣＤ杆的直径d＝20mm，许用应力［σ］＝160MPa，试校核ＣＤ杆的强度，并求：１．结构的许用载荷［Ｐ］；２．若Ｐ＝50kN，设计ＣＤ杆的直径d。kN50kN15kN20321332122111PPPNPPNPNMPa8.176Pa108.1764)1012(1020623311ABABANAB段：MPa5.110Pa105.1104)1024(1050623333CDCDANCD段：m1047.0mm3.0m100.310)58.142.1(m1058.14)1024(102103.01050m1042.14)1016(102104.01015m1053.24)1012(102103.01020444423933334239322242393111CDBCABADCDBCBCDCDBCBCABABllllllEAlNlCDEAlNlBCEAlNlAB段：段：段：110kN5.33][kN5.33N105.33610160)1020(6][][423362322PdPdPANCDCDmm25mm4.24m1044.21016010506][6][63632dPddPANCDCD取解：１．作AB杆的部分受力图如图b所示，其平衡条件为：CD杆的应力：因为σCD［σ］，所以CD杆安全。２．许用载荷［Ｐ］３．若Ｐ＝50kN，设计ＣＤ杆的直径d例３由刚性杆AB及两弹性杆EC及FD组成的结构，在B端受到力F作用。两弹性杆的抗拉压刚度分别为E1A1和E2A2。试求杆EC和FD的内力。解：该结构为一次超静定，需要一个补充方程。为此，从下列三方面来分析。PNaPaNmCDCDA230320MPa4.119Pa104.1194)1020(10252342362332dPANCDCD2aadAPBCDBPCANCD(a)(b)例2图111（1）静力方面取脱离体如图b所示，设两杆的轴力分别为1NF和2NF。由AB杆的平衡方程0Am，得（２）几何方面由于AB杆是刚性杆，在力F的作用下绕A点转动，杆EC和FD产生伸长。由于是小变形，可认为Ｃ、Ｄ两点铅垂向下移动到Ｃ’和Ｄ’点。设1'CC,2'DD。它们应满足以下关系：（i）这就是变形协调方程。（３）物理方面根据胡克定律，有：将式（j）代入式（m）得：2221112AEaFAEaFNN（j）由（h）、（j）两式解出aEFBCDAFC'D'FBAFFFFVAHAN1N23L3L3LEA11A2E2(a)(b)例3图212122221111,AEaFAEaFNN（h）032321LFLFLFNN112例４如图（a）所示，为埋入土中深度为l的一根等截面木桩，在顶部承受载荷P。这载荷完全由沿着木桩的摩擦力f所平衡，f按抛物线变化，如图（b）所示。试确定木桩的总缩短，以P，l，E，A表示。解：（１）求常数k。木桩微段dy上的摩擦力：整个木桩的摩擦力：由平衡条件可知：33klFP即：33lPk（２）确定木桩的总缩短量。由图（b）可知，木桩任意截面上的轴力为：杆中微段dy的缩短量为：EAdyyNld)()(所以木桩的总缩短量为：221122222111114643AEAEFAEFAEAEFAEFNN，lyyyfdydy0f=ky2P(a)(b)f例4图dykyfdydF23302kldykydFFlPlyykdykyyNy3302)(3)(lllEAPldyyEAlPEAdyyNldl000334)()(113例５如图所示三角架，AB杆和AC杆的抗拉压刚度分别为E1A1和E2A2，试求A点的铅垂位移A。解：（１）图解法。由节点A的平衡方程：045sin0045cos0PNyNNxABABAC得：压力）；拉力）((2PNPNACAB由此可求得各杆的变形：如图（b）所示：由各杆之间的变形几何关系可得：2211442245cosAEPlAEPlllDAADAAACABA（２）能量法。由于P所完成的功在数值上应等于杆系的变形能，亦即等于AB、AC45°45°ABCAlδAΔlΔlACABAAAA1234DP(a)(b)例5图2222111111222AEPlAElNlAEPlAElPAElNlACACACABABAB114两杆变形能的总和。故：221122211222211222222221AEPlAEPlAElPAElPAElNAElNPAACACABABA