数乘向量教学设计

第5.3.1章平面向量565.3.1数乘向量【教学目标】1.通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律．2.理解并掌握平行向量基本定理．3.通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】数乘向量运算及运算律与平行向量基本定理．【教学难点】对数乘向量定义与平行向量基本定理的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1．已知非零向量a，求作：(1)a＋a＋a；(2)(－a)＋(－a)＋(－a)．请观察3a与－3a是否还是一个向量，它的长度与方向有何变化．2．已知→AB，把线段AB三等分，分点为P，Q，则→AP，→AQ，→BP与→AB的关系如何？教师提出问题，引入课题．学生观察解答．在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，符合学生认知规律，有利于概念的同化．新课1．数乘向量的定义实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa．向量λa(a≠0，λ≠0)的长度与方向规定为：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反．当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0．2．数乘向量的几何意义把向量a沿着a的方向或a的反方向，长度放大或缩小．如2a的几何意义就是沿着向量a的方向，教师由具体例子引导学生得到数乘向量的定义．培养学生由特殊到一般的归纳总结能力．紧扣向量的两要素分析定义，便于理解数乘向量的几何意义．－a－a－aaaaaAPQB数学基础模块下册57新课长度放大到原来的2倍．练习一任作向量a，再作出向量－3a，12a，－13a，并说出它们的几何意义．3．数乘向量运算的运算律设λ，μR，有：(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(2)λ(μa)＝(λμ)a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．请观察，数乘向量运算律与实数乘法运算律有什么相似之处？例1计算下列各式：（1）(－2)12a；（2）2(a＋b)－3(a－b)；（3）(+)(a－b)－(－)(a+b)．解（1）(－2)12a＝(－212)a＝－a；（2）2(a＋b)－3(a－b)＝2a－3a＋2b＋3b＝(2－3)a＋(2＋3)b＝－a＋5b．（3）(＋)(a－b)－(－)(a＋b)＝(＋)a－(＋)b－(－)a－(－)b＝(＋－＋)a－(＋＋－)b＝2a－2b．练习二化简：（1）2(a－b)＋3(a＋b)；(2)12(a＋b)＋12(a－b)．例2设x是未知向量，解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0．解原式可变形为5x＋5a＋3x－3b＝0，8x＝－5a＋3b，师生合作完成．教师提出问题．学生观察解答．师生合作完成．学生练习巩固．教师引导学生完成．类比学习．有实数运算法则做基础，学生解决这部分题目很容易，提醒学生向量上加箭头．第5.3.1章平面向量58新课x＝－58a＋38b．练习三解关于x的方程：(1)3(a＋x)＝x；(2)x＋2(a＋x)＝0．例3已知→OA＝3→OA，→AB＝3→AB，说明向量→OB与→OB的关系．解因为→OB＝→OA＋→AB＝3→OA＋3→AB＝3(→OA＋→AB)＝3→OB．所以→OB与→OB共线且同方向，长度是→OB的3倍．4．平行向量基本定理如果a＝λb，则a//b；反之如果a//b，且b≠0，则一定存在一个实数λ，使a＝λb．例如，如果a＝2b，则a//b；如果c＝－2b，则c//b；如果d//b，且d的长度是b的一半，并且方向相反，则d＝－12b．5．非零向量a的单位向量与a同方向且长度为1的向量，称为非零向量a的单位向量．易知，a的单位向量为a|a|．例4若MN是△ABC的中位线，求证：学生练习巩固．教师给出问题并引导学生解答．学生根据向量加法的三角形法则及数乘向量定义完成解答．教师由上例引导学生推广到一般的平行向量．教师引导学生分由本例引入平行向量定理，由特殊到一般，便于学生接受．本题是首次应a2bbc－2b－12b数学基础模块下册59新课MN＝12BC，且MN∥BC．证明因为M，N是AB，AC边上的中点，所以→AM＝12→AB，→AN＝12→AC，→MN＝→AN－→AM＝12→AC－12→AB＝12(→AC－→AB)＝12→BC．所以MN＝12BC，且MN∥BC．练习四已知点D是线段BC的中点，求证：→AD＝12(→AB＋→AC)．析．学生练习巩固．用向量知识来解决平面几何问题，对学生来说有些难度，教师须根据向量的运算法则详细讲解．小结1．数乘向量的定义及其几何意义．2．数乘向量运算律．3．平行向量基本定理．4．单位向量．师生合作．梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．作业教材P13，练习第1、2题．巩固．