数值分析分章复习(第七章非线性方程求根)

第七章非线性方程求根要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断（2）迭代公式收敛阶概念（3）Newton迭代公式及收敛性定理复习题：1、建立一个迭代公式计算数555a，要求分析所建迭代公式的收敛性解：迭代式为：1055nnxxx数a应是函数()5xx的不动点（即满足()aa）注意到（1）当[0,5]x时，恒有[,5)](0x（2）当[0,5]x时，恒有1()15122xx依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到a2、对于方程2xex，（1）证明在区间［-1.9，-1］内有唯一实根（2）讨论迭代格式10(12.9,1)kxkxex的收敛性如何？（3）写出求解该实根的牛顿迭代公式解：（1）记()2xfxex显然(1.9)0.04960,(1)0.63210ff当[1.9,1]x时，恒有()10xfxe可见()fx在区间[1.9,1]内有且仅有一个零点即方程在区间[1.9,1]内有且仅有一个实根（2）取()2xxe容易验证：（I）当[1.9,1]x时，恒有[1.9](,1)x，(II)当[1.9,1]x时，恒有1)1(xexe依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛（3）记()2xfxex牛顿迭代法形式：1()()nnnnfxxxfx即：10211.9nnxnnnxexxxex3、为求0123xx在1.5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的迭代公式：（1）211xx；（2）3121xx。试分析每一种迭代的收敛性解：记32()1fxxx(1)迭代式为1211nnxx，这里记21()1xx注意到(1.3)(1.5)1ff,并且2()32(32)0fxxxxx,[1.3,1.5]x所以区间[1.3,1.5]为有根区间([1.3,1.5])[1.3,1.5],并且当[1.3,1.5]x时，恒有3|()|211.3x依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛(2)迭代式为1231(1)nnxx，这里123()(1)xx同(1)中讨论，得结论：该迭代公式收敛4、对于方程01xxe在0.5附近的根。（1）选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。（2）给出求解该实根的牛顿迭代公式解：(1)01xxe1xxe构造迭代式：10nxnxex，即取迭代函数()xxe首先，容易验证区间[0.1,1]是方程的一个有根区间([0.1,1])[0.1,1],并且当[0.1,1]x时，恒有0.1|()|1xe依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛设*[0.1,1]x是其根的精确值，因为**()0xxe，故收敛为线性收敛，即收敛阶1p(2)记()1xfxxe牛顿迭代法形式：1()()nnnnfxxxfx即：101(1)1nnxnnnxnxexxxex5、应用牛顿法于方程2()10afxx，导出求a的迭代公式解：牛顿迭代法形式：1()()nnnnfxxxfx即：21312nnnnaxxxax，即312nnnnxaxxxa，即3132nnnaxxxa如果1a，可取01x，如果1a，可取0xa6、对于非线性证明方程02lnxx（1）证明在区间(1,)有一个单根.并大致估计单根的取值范围.（2）写出Newton迭代求解该根的迭代公式解：（1）记()ln2fxxx，显然()fx处处可微(1)10f，lim()xfx所以，在区间(1,)内至少存在一个实根另外，由于1()10,(1,)fxxx所以，在区间(1,)内有且仅有一个实根(3)1ln30f，(4)2ln40f可见根(3,4)x（2）牛顿迭代法形式：1()()nnnnfxxxfx即：1ln211nnnnnxxxxx，即21ln21nnnnnnnxxxxxxx即1ln1nnnnnxxxxx考虑取04x7、据理证明*1x是方程432231xxxx的一个二重根，并构造计算*x的具有平方收敛阶的Newton迭代解：记4322)31(xxfxxx因为(1)0,(1)0,(1)0fff所以*1x是方程()0fx的一个二重根注意到，当是0)(xf的m重根)2(m时，牛顿迭代法求解0)(xf仅是线性收敛的事实上，对于牛顿迭代法，其迭代函数是()()'()fxxxfx，由是0)(xf的m重根，令()()(),mfxxgx()0,g则()()()()()()xgxxxmgxxgx容易验证：1()1m，因1,()0,()1mx且，故牛顿迭代法是收敛的，但只是线性收敛。求方程m重根的牛顿迭代法形式：1()()nnnnfxxxmfx即423132232(1)4343nnnnnnnnnxxxxxxxxx该迭代至少为平方收敛8、求方程3250xx在区间[2,3]内根的近似值有如下变形325xx（1）试判定对任意初始近似值0[2,3]x简单迭代法1()kkxx的收敛性；（2）写出求解该实根的Newton迭代格式，并考虑迭代初值的选取解：（1）记32()5xx，容易验证([2,3])[2,3]并且3|()|29127x所以()x作为区间[2,3]上的压缩映射，存在一个不动点*[2,3]x并且对于0[2,3]x，迭代式1()kkxx均收敛到*x（2）牛顿迭代法形式：1()()nnnnfxxxfx即：21252(1)nnnnnxxxxx，即2152(1)nnnnxxxx取03x（注：满足00()()0fxfx）9、为数值求得方程042xx的正根*x，可建立如下迭代格式,2,1,41nxxnn,试利用迭代法的收敛理论证明对于00x，该迭代序列收敛，且满足.*limxxnn解：记()4,0xxx显然11()1424xx所以，对于00x，迭代式1()kkxx均收敛到*x10、对于非线性方程1232cos0xx（1）证明方程存在唯一实根（2）证明对于任意的0xR，迭代式124cos3kkxx产生的序列{}kx收敛到方程的根（3）构造求解该方程根的Newton迭代式解：（1）记()1232cosfxxx显然()fx连续可微，又,lim()lim()xxfxfx所以根据连续函数零点存在定理可知*(,)x，成立*()0fx另外，()32sin0fxx，可见函数()fx严格单调递减故满足()0fx的点*x唯一，即方程存在唯一实根（2）记2()4cos3xx因为22()sin133xx所以，对于0x，迭代式1()kkxx产生的序列{}kx均收敛到方程的根*x（3）牛顿迭代法形式：1()()nnnnfxxxfx即：11232cos32sinnnnnnxxxxx，即1122(cossin)32sinnnnnnxxxxx