数值分析分章复习(第四章数值积分)

第四章数值积分要点：（1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式（2）插值型求积公式的构造及余项表达式（3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明（4）梯形公式、Simpson公式的形式及余项表达式（5）复合梯形公式、复合Simpson公式及其余项表达式（6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形（或Simpson）公式的余项确定积分区间[a,b]的等分次数n（7）Newton-Cotes求积分公式的特点以及代数精确度的结论（8）高斯型求积公式的概念复习题：1、已知求积公式为11150.68050.69fxdxfff(1)确定它的代数精度，并指出它是否为Gauss公式；(2)用此求积公式计算定积分21410.452.2xdxx解：（1）依次取2345()1,,,,,fxxxxxx代入积分公式可发现:左端=右端，而当取6()fxx时，左端可端可见该是求积公式具有5阶代数精确度由于求积公式节点数为3n,而公式代数精确度21pn所以该求积公式为Gauss公式（1）对于240.4()52.2xfxx，有240.4()0.5166,(0)0.426452.620.xffx故21410.5166800.41(50.953052..426450.51669)2xdxx2、对于2结点插值型求积公式200110fxdxAfxAfx。（1）如果求积分公式是两结点牛顿—科特斯求积公式，请给出求积系数01,AA，求积结点01,xx，并给出积分余项表达式（2）若使其具有最高的代数精度，试确定求积系数与求积结点？代数精度为多少？注：本题不用考虑3、分别用梯形公式和二点Gauss公式计算积分10dxex，比较二者的精度解：利用梯形公式，10101()1.85922xedxee注：Gauss公式部分不要4、对于积分10dxex。（1）写出梯形公式与辛普森公式；（2）请直接指出这两个公式的代数精度；（3）问区间[0,1]应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过61021解：（1）011()0.68392Tee，00.511(4)0.63236Seee（2）梯形公式余项3()[](12),[0,1]12TbaRffe辛普森公式余项5(4)()[](),[0,1]28828800SffebaR可见梯形公式代数精度为1p，辛普森公式代数精度3p（3）根据复合辛普森公式的余项5(4)44()[](2880288)0nSbaeRffnn注意到441|[]|28802880nSeRfnn令64111028802n，解得5.133n可见当取4n时，对应的复合辛普森公式nS可满足精度要求5、确定下列公式22)1()0()1()(CfBfAfdxxf中的参数A，B，C，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。解：依次取2()1,,fxxx代入积分公式，并令:左端=右端，得方程组4016+3ABCACAC，解得8343ACB得公式：224()(2(1)(0)2(1))3fxdxfff取3()fxx代入公式，有左端=右端取4()fxx代入公式，有左端右端可见该求积公式代数精确度为3p6、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度)()0()()(22hCfBfhAfdxxfhh解：解题过程与上题类同，所得结果816,433AChBh代数精确度为3p7、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。20210)2()1()0()(fffdxxf解：解题过程与上题类同，所得结果816,433AChBh代数精确度为3p8、求积公式)43(32)21(31)41(32)(10fffdxxf具有多少次代数精确度解：依次取23()1,,,fxxxx代入积分公式，得左端=右端当取4()fxx时，左端右端，故公式的代数精确度为3p9、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。10010)0()1()0()(fBfAfAdxxf解：依次取2()1,,fxxx代入积分公式，令左端=右端，得0110111213AAABA得010211336AAB，，公式的代数精确度为2p10、试确定下列求积公式的代数精确度)]1(')0('[121)]1()0([21)(10ffffdxxf解：依次取23()1,,,fxxxx代入积分公式，得左端=右端当取4()fxx时，左端右端，故公式的代数精确度为3p11、试确定常数01,AA,使求积公式101111()()()33fxdxAfAf有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss型?并用此公式计算积分311Idxx（结果保留5位小数）解：依次取()1,fxx代入积分公式，令左端=右端，得011AA对应求积公式1111()()()33fxdxff依次取23(),fxxx代入积分公式，得左端=右端当取4()fxx时，左端右端，故公式的代数精确度为3p由于求积公式节点数2n，而代数精确度213pn可见该求积公式是Gauss型求积公式311111111.09091122233Idxdxxx12、求出二点Gauss求积公式)()()(110011xfHxfHdxxf中系数0H，1H及节点0x，1x。并用此公式计算积分20cosxdxI（结果保留5位小数）解：依次取23()1,,,fxxxx代入积分公式，令左端=右端，得01001122001133001120230HHHxHxHxHxHxHx由20(2)(4)x可得01xx，继而可求得011HH,及0133,33xx对应求积公式：1133()()()33fxdxff对于20cosxdxI，利用变量代换：(1)4xu，则120133coscos(1)cos(1)cos(1)0.99854444343Ixdxudu13、试证明高斯求积公式nkkkxfAdxxf111)()(的求积系数kA恒为正注：本题不用考虑14、确定常数,,ABC及使求积公式22()()(0)()fxdxAfBfCf具有尽可能高的代数精确度，是否为Gauss型求积公式？并用上述所得公式计算积分211xedx的近似值（计算过程保留6位小数）.解：依次取234()1,,,,fxxxxx代入积分公式，令左端=右端，得22344401630645ABCACACACAC解得：12108,C,533AB相应求积公式：221212()()(0)()55fxdxfff10810333取5()fxx代入公式，有左端=右端取6()fxx代入公式，有左端右端可见求积公式代数精确度5p而公式具有节点数3n，而21pn所以，该求积公式为Gauss型求积公式221241211101281012()(0)()2235335uxedxedufff15、求积公式103111434fxdxff的代数精确度为多少阶解：依次取2()1,,fxxx代入积分公式，得左端=右端当取3()fxx时，左端右端，故公式的代数精确度为2p16、利用复合梯形公式近似计算定积分dxeIx102，要求计算误差不小于61021，试估计区间等分数n解：根据复合辛普森公式的余项5(4)(4)44()([](28802880))nSbafRffnn这里2(4)42()4(4123)xfxexx注意到[0,1](4)(4)max|()|(1)76xfxfe故有4447673619[]28802880240nSeRfnnn令64191102402n，解得19.95n可见当取20n时，对应的复合辛普森公式nS可满足精度要求