数值分析报告-二分法和牛顿法方程求根

1《数值分析》实实验验报报告告一一姓名:周举学号:PB090010462实验一一、实验名称方程求根二、实验目的与要求：通过对二分法和牛顿法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点；比较二者的计算速度和计算精度。三、实验内容：通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点。（一）二分法算法：给定区间[a,b]，并设f（a）与f（b）符号相反，取为根的容许误差，为值的容许误差。（1）令c=(a+b)/2（2）如果(c-a)或)(cf，则输出c，结束；否则执行（3）（3）如果f(a)f(c)0，则令)()(,cfbfcb；否则，则令)()(,cfafca，重复（1），（2），（3）。（二）牛顿迭代法：给定初值0x，为根的容许误差，为)(xf的容许误差，N为迭代次数的容许值。（1）如果)(xf或迭代次数大于N，则算法结束；否则执行（2）。3（2）计算)('/)(0001xfxfxx（3）若或，则输出，程序结束；否则执行（4）。（4）令=，转向（1）。四、实验题目与程序设计1、二分法3.1.1、用二分法求方程a.f(x)=xxtan1在区间[0，/2]上的根,c.f(x)=6cos22xexx在区间[1，3]上的根。源程序：3.1.1.a#includestdio.h#includemath.hvoidmain(){floata,b;doublec,y,z;printf(pleseinputtwonumberaandb:\n);scanf(%f%f,&a,&b);c=(a+b)/2;y=1/c-tan(c);printf(a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n,a,b,b-a,c,y);while(fabs(b-a)0.00001||fabs(y)0.00001){z=1/a-tan(a);if(z*y0)b=c;elsea=c;c=(a+b)/2;y=1/c-tan(c);printf(a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n,a,b,b-a,c,y);}}xx01)(1xfx1x0x14输入01.5707563(/2~1.5705563)得到下表：由上表可以看出刚开始时f（c）取值幅度很大，但是经过一段历程之后，幅度变得平缓甚至基本接近与零，我们认为，x=0.8603是方程的根，结果与实际想要得到的值相当接近。3.1.1c#includestdio.h#includemath.hvoidmain(){floata,b;doublec,y,z;printf(pleseinputtwonumberaandb:\n);scanf(%f%f,&a,&b);c=(a+b)/2;y=pow(2,-c)+exp(c)+2*cos(c)-6;printf(a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n,a,b,b-a,c,y);while(fabs(b-a)0.00001||fabs(y)0.00001){z=pow(2,-a)+exp(a)+2*cos(a)-6;if(z*y0)b=c;elsea=c;c=(a+b)/2;y=pow(2,-c)+exp(c)+2*cos(c)-6;printf(a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n,a,b,b-a,c,y);}}5输入13，得到如下表：我们认为，x=1.8294是方程的根。3.1.4、用二分法求方程04032010958411812467284224494536546362345678xxxxxxxx在[5.5，6.5]上的根，将-36改为-36.001，并重复试验。源程序如下：#includemath.h#includestdio.hvoidmain(){floata,b,c,y,z,w;intn=0;printf(pleseinputtwonumberaandb:\n);scanf(%f%f,&a,&b);c=(a+b)/2;y=pow(c,8)-36*pow(c,7)+546*pow(c,6)-4536*pow(c,5)+22449*pow(c,4)-67284*pow(c,3)+118124*c*c-109584*c+40320;printf(abb-acf(a)f(c)f(b)\n);printf(%f,%f,%f,%f,%f,%f,%f\n,a,b,b-a,c,z,y,w);while(y0.00001||c-a0.00001){z=pow(a,8)-36*pow(a,7)+546*pow(a,6)-4536*pow(a,5)+22449*pow(a,4)-67284*pow(a,36)+118124*a*a-109584*a+40320;w=pow(b,8)-36*pow(b,7)+546*pow(b,6)-4536*pow(b,5)+22449*pow(b,4)-67284*pow(b,3)+118124*b*b-109584*b+40320;if(z*y0)b=c;elsea=c;c=(a+b)/2;y=pow(c,8)-36.001*pow(c,7)+546*pow(c,6)-4536*pow(c,5)+22449*pow(c,4)-67284*pow(c,3)+118124*c*c-109584*c+40320;printf(%f,%f,%f,%f,%f,%f,%f\n,a,b,b-a,c,z,y,w);n++;}}输入5.56.5得到下表：我们认为x=6.0000是方程的根。如果把第二项系数换成36.001，重复以上实验，则得到下表：由于f（a）和f（b）总是同为负数，我们在（5.5,6.5）之间没有找到需要的根，这就说明，当方程中某一个系数相差很小时，方程的根取值可能相差很大。72、牛顿迭代法3.2.5、用牛顿法求方程011661242234xxxx接近0.1的两根。源程序如下：#includestdio.h#includemath.hvoidmain(){intn=0,M;floatx,y,s,t,u,v;printf(pleseinputxMtands:\n);scanf(%f%d%f%f,&x,&M,&t,&s);u=2*x*x*x*x+24*x*x*x+61*x*x-16*x+1;v=8*x*x*x+72*x*x+122*x-16;y=x-u/v;printf(N=%d,x=%f,y=%f,|y-x|=%f,f(x)=%f\n,n,x,y,fabs(y-x),u);n++;while(n=M&&fabs(y-x)t&&fabs(u)s){x=y;u=2*x*x*x*x+24*x*x*x+61*x*x-16*x+1;v=8*x*x*x+72*x*x+122*x-16;y=x-u/v;printf(N=%d,x=%f,y=%f,|y-x|=%f,f(x)=%f\n,n,x,y,fabs(y-x),u);n++;}}为了能够找到x=0.1附近的两个根，我们不妨取0x=0.0，0x=0.1和0x=0.2两个值尝试一下，分别得到如下的结果：（1）当0x=0.0时，我们认为x=0.1213是方程的根。8（2）当0x=0.1时，我们认为x=0.1213是方程的根。（3）当0x=0.2时，我们认为x=0.1231是方程的根。故方程在x=0.1附近的两根为x=0.1213和x=0.1231。将这一过程表示在坐标图中：由于方程的两个根和x=0.1比较接近，可以看出，当初值取为0.1时，f(c)的函数最为平缓，这表示此时f（x）最先到达零点；其次，0.2比0.0更加接近于根x=0.1213和x=0.1231，所以初值为0.2的曲线比初值为0.0的曲线更加平缓。这就说明了，用牛顿法解方程式，应该尽量使初值接近零点，这样能够更节省时间，得到的根更准确。93.2.14、用牛顿法求解下面两个非线性方程的根a.10101113169195244222yxyxxyy,b.0tan20223xyxyxyexx3.2.14、a取10101113169195244)(222yxyxxyyXF，则1061113384852)(yxyXF，)111x338)(4y8()10-y6(52)10101113169(52)195244)(111338()111x338)(4y8()10-y6(52)10101113169)(4y8()195244)(10-y6(F(X))(H2222221-yxyxxyyxyxyxxyyXFHXXkk)1(，根据牛顿法的思想，其源程序如下：#includestdio.h#includemath.hvoidmain(){floatx,y,u,v,s,t;intn=0,M;printf(pleseinputtwonumberx、y,andM:\n);scanf(%f%f%d,&x,&y,&M);printf(%f,%f,%d\n,x,y,M);s=4*y*y+4*y+52*x-19;t=169*x*x+3*y*y+111*x-10*y-10;printf(N=%d,x=%f,y=%f,f1=%f,f2=%f\n,n,x,y,s,t);n++;while(n=M){u=-((6*y-10)*(4*y*y+4*y+52*x-19)-(8*y+4)*(169*x*x+3*y*y+111*x-10*y-10))/(52*(6*y-10)-(8*y+4)*(338*x+111));v=-(-(338*x+111)*(4*y*y+4*y+52*x-19)+52*(169*x*x+3*y*y+111*x-10*y-10))/(52*(6*y-10)-(8*y+4)*(338*x+111));10x=x+u;y=y+v;s=4*y*y+4*y+52*x-19;t=169*x*x+3*y*y+111*x-10*y-10;printf(N=%d,x=%f,y=%f,f1=%f,f2=%f\n,n,x,y,s,t);n++;}}输入初值0010，这里10是指计算次数，得到下表从表中可以知道，方程的根是x=0.1342，y=1.3043，同时，从上表可以发现，在N4之后，f1(X)和f2(X)基本上等于零，这个接近程度相当低，而且，方程很快能够得到需要的根，这说明牛顿法的效率是相当高的。（b）和（a）的做法思想是一样的，其源程序如下：#includestdio.h#includemath.hvoidmain(){floatx,y,u,v,s,t,r;intn=0,M;printf(pleseinputtwonumberx、y,andM:\n);scanf(%f%f%d,&x,&y,&M);printf(%f,%f,%d\n,x,y,M);s=x+exp(-x)+y*y*y;t=x*x+2*x*y-y*y+tan(x);printf(N=%d,x=%f,y=%f,f1=%f,f2=%f\n,n,x,y,s,t);n++;while(n=M){r=(1-exp(-x))*(2*x-2*y)-3*y*y*(2*x+2*y+1/(1+x*x));u=-((2*x-2*y)*s-3*y*y*t)/r;v=-((-2*x-2*y-1/(1+x*x))*s-(1-exp(-x))*t)/r;x=x+u;y=y+v;s=x+exp(-x)+y*y*y;11t=x*x+2*x*y-y*y+tan(x);printf(N=%d,x=%f,y=%f,f1=%f,f2=%f\n,n,x,y,s,t);n++;}