数值分析试卷

12013级建测学院《数值分析》期末试卷1注意：①答题方式为闭卷。②可以使用计算器。请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。一、填空题（20×2′）1.设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有位有效数字。2.设32,1223XA，‖A‖∞＝_______，‖X‖∞＝_______，‖AX‖∞≤_______(注意：不计算‖AX‖∞的值)。3.非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。4.若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]=，f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=。5.区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到阶的连续导数。6.当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的（填写前插公式、后插公式或中心差分公式），若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的（填写前插公式、后插公式或中心差分公式）；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的。7.拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：niixa0)(；所以当系数ai(x)满足，计算时不会放大f(xi)的误差。8.要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取位有效数字。9.对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是。10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511.牛顿下山法的下山条件为。12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri(i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差2ri＝，(i=0,1,…,n)。13.在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为。14.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、、迭代计算。二、判断题(在题目后的()中填上“√”或“×”。)（10×1′）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。()2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。()3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式),...,2,1(1niaanijjijii则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。()4、样条插值一种分段插值。()5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。()8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。()9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。()三、计算题（5×8′+10′）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。(计算时小数点后保留5位)。112123454321321321xxxxxxxxx2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。3xi012f(xi)1-13f’(xi)153、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。4、设y=sinx，当取x0=1.74,x1=1.76,x2=1.78建立拉格朗日插值公式计算x=1.75的函数值时，函数值y0,y1,y2应取几位小数?5、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据：xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-0.101.171.58若用插值法计算，x约为多少时f(x)=1。(计算时小数点后保留5位)。6、应用牛顿法于方程，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的值。（计算时小数点后保留4位)。33846512321432431421xxxxxxxxxxxx01)(2xaxf42013级建测学院《数值分析》期末试卷21.数值积分公式形如（15）1'0100()(0)(1)(0)fxdxAfAfBf(1)试确定求积公式中的参数010,,AAB，使其代数精度尽可能高.并求出其代数精度。(2)已知该求积公式余项'''[](),(0,1),Rfkf试求出余项中的参数k。（1）解：()1fx时，左10()1fxdx，右01AA，左＝右得：011AA()fxx时，左101()2fxdx，右01BA，左＝右得：0112BA2()fxx时，左101()3fxdx，右1A，左＝右得：113A联立上述三个方程，解得：001211,,363ABA3()fxx时，左101()4fxdx，右113A，左右所以，该求积公式的代数精度是2（2）解：过点0，1构造()fx的Hermite插值2()Hx，因为该求积公式代数精度为2，所以有：'212021200010(0)(0)(0)(0)(1()))(0HAHBHfAfBfHxdxAA其求积余项为：1'1000()[(0)(1)(0)]()fxdxfAffBfRA11022001()()!))((13fHxdxxxdxfxdx120()(1)3!fxxdx()72f所以，172k2.设初值问题101)0(23xyyxy.写出用改进的Euler法解上述初值问题数值解的公式，若0.2h，求解21,yy，保留两位小数。（10分）.解：改进的Euler公式是：51111(,)[(,)(,)]2nnnnnnnnnnyyhfxyhyyfxyfxy具体到本题中，求解的公式是：11110.2(32)1.40.60.1[3232](0)1nnnnnnnnnnnnyyxyyxyyxyxyy代入求解得：11.4y,11.54y222.276,2.4832yy3.分别用梯形公式，复化梯形公式计算积分：1011dxx其中在用复化梯形公式求积分时，步长2.0h。（10分）梯形公式为:(()())2baTfafb1120.752复化梯形公式为:11(()2()())2nniihTfafxfb具体到本题中,可知0.2,0,1hab461((0)2()(1))2iihTffxf=0.1(1.55.456)0.69564.用改进的欧拉方法求解初值问题：'2(00.4)(0)0yxxyxy取步长2.0h，计算过程中保留到小数点后四位。（10分）.改进的Euler公式为:1111(,)((,)(,))2nnnnnnnnnnyyhfxyhyyfxyfxy具体到本题中,则为212221()[()()()]2nnnnnnnnnnnnnnnnyyhxxyhyyxxyxhxhyhxxy经化简为:6210.820.180.220.024nnnnyyxx所以:(0.2)0.024y0(0.4)0.0949y5.证明:设()1,,(11)2bafxbaba左=右,左=右2222(),(),()(),2bafxxbababa11左=右22左=右332(),bafxx左=3,右322322()()2babbaabaab2,左右所以,该公式具有一次代数精度.6.用两点Gauss-Legendre求积公式求积分11xdx解：两点Gauss-legrende求积公式为：1133()()()33fxdxff所以1133033xdx7.用欧拉法求解常微分方程组初值问题：（10分）'112'21212324(0)0,(0)1yyyyyyyy在[0,0.4]上的数值解,取步长2.0h，计算过程中保留两位小数。（10分）Euler公式为:1(,)nnnnyyhfxy具体到本题中,则为1,11,1,2,2,12,1,2,12(32)(4)(0)0,(0)1nnnnnnnnyyhyyyyhyyyy又因为：0.2h所以上述求解公式可化简为:1,11,2,2,11,2,121.60.40.81.2(0)0,(0)1nnnnnnyyyyyyyy所以:71,12,10.4,1.2yy；1,22,21.12,1.76yy8.分别写出用雅可比（Jacobi）迭代，高斯—赛德尔迭代求解方程组：123122111132212xxx的迭代公式.并判断用高斯—赛德尔迭代法求解该方程组的收敛性。(15分).解:Jacibo迭代公式为:(1)()()123(1)()()213(1)()()3121223222kkkkkkkkkxxxxxxxxxGauss-Seidel迭代公式为:(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121223222kkkkkkkkkxxxxxxxxx(2)解:设矩阵A可分解为三个矩阵的和,即ADLU,其中100221,10,0112200DLU11100100()110110221021DL所以,Gauss-Seidel迭代的迭代矩阵1100022022()110012102102GBDLU22221(2)02GIB可求得0,2所以,()21GB所以,用Gauss-Seidel迭代法求解该方程组是发散的.9.证明(10分)1.设3[,]()abfxC,已知插值节点012,axxxb且1iixxh,1,2i,证明:(1)()fx在[,]ab上的线性插值函数1()Lx的误差界为821()max()()max()8axbaxbbafxLxfx(2)二次插值多项式2()Lx的误差界为323max()()max()27axbaxbhfxLxfx1证明:因为1()Lx是()fx在[,]ab上的线性插值函数所以有插值余项公式可知其插值余项为：1()()()()2!fxRxxaxb，其中axb即：1()()()()()2!fxfxLxxaxb令()()()gxxaxb，axb易知：2()()4bagx，所以：2()()4bagx1()max()()max()()2!axbaxbfxfxLxxaxb()max()max2!axbaxbfxgx2()max()8axbbafx10.证明:因为2()Lx是()fx在[,]ab上的二次插值多项式可知其插值余项