数值分析试卷09计科专升本(A)卷

试卷第1页共11页福建农林大学考试试卷（A）卷2011——2012学年第1学期课程名称：考试时间：120分钟专业年级班学号姓名题号一二三四五总得分得分评卷人签字复核人签字得分一、判断题（每小题2分，共20分）１、设有两个数用规范化的形式表示为qpbbxaaxqnpm,10.0,10.01211，则在计算21xx时，要将1x表示为qmqpqpaaaaa10.121后再进行计算。（）２、若知道y是x的函数，不知道其解析表达式，但能获得y在一些节点nkxk,1,0,处的值nkxyykk,,1,0,。那么我们可以选择线性无关的xxxn,,,10，并构造xaxaxaxpnn1100，使得nkyxpkk,,1,0,。（）３、用迭代算法求线性方程组的近似解时，如果一个方程组用雅克比迭代法是收敛的，则用高斯－塞德尔迭代也一定是收敛的。（）４、由给定节点nxxx,,,10及其所对应的函数值nxfxfxf,,,10所构造的求积公式的代数精确度至少有n次。（）５、用迭代法求解线性方程组bAX时，如果系数矩阵A是严格对角占优的，那么Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代都是收敛的。（）６、用迭代法求解线性方程组bAX时，如果系数矩阵A的某种范数vA小于1，则迭代结果一定收敛于线性方程组的解。（）试卷第2页共11页７、设函数xf在ba,上连续，方程0xf，有等价表达式为xx，如果1'max],[xbax，则迭代过程kkxx1所产生的序列kx收敛于方程的根。（）８、设有微分方程00,'yxyyxfy。则分别用Euler格式、后退的Euler格式、梯形格式求其数值近似解时，这三种方法没有本质区别，它们的精度也是一样的。（）９、设有线性方程组bAX，则用LU分解方法求解时，若A是对称正定的，与一般的LU分解相比，大约只需要一半的运算时间和一半的存储空间。（）１０、用数值方法求解线性方程组bAX时，若条件数越大，则求解的结果越精确。（）得分二、计算题（每题8分，共40分）１、设有微分方程2042'yxyy。试以0.1为步长的Euler方法，计算4.0,3.0,2.0,1.0yyyy的近似值：4.03.02.01.0,,,yyyy解：试卷第3页共11页２、设xxfsin，已知节点3.0,2.0,1.0210xxx，上的函数值为：2955.0,1987.0,0998.0210xfxfxf，试构造Lagrange插值函数xL2，并计算15.0f的近似值，并估计误差解：试卷第4页共11页３、设有实验数据ix1.361.731.952.28iy14.09416.84418.47520.963试求y与x的函数关系。解：试卷第5页共11页４、Leonardo于1225年研究了方程02010223xxx并得出了368808107.1x是这个方程的一个根，当时无人知晓这个解是如何得到的，你能用Newton迭代法求出来吗？（提示：验证这个方程只有一个根，找出有根区间，再作迭代）解：试卷第6页共11页５、试用列选主元素高斯消去法求线性方程组201814513252321321xxx的解。解：试卷第7页共11页得分三、计算题（第1题20分，第2题12分，共32分）１、设有线性方程组bAX，其中16148,420151024bA试求（1）给出解线性方程组的Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代矩阵（2）判断解线性方程组的Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的收敛性；（3）选取收敛速度较快的一种迭代方法，取TX1,1,10进行四次迭代计算解：试卷第8页共11页２、试用数值积分的方法计算2ln的近似值（真值约为0.69314718）。解：试卷第9页共11页得分四、应用题（每题8分，共8分）1、设niftfii,,2,1,表示了一段音频数据，if以实数的形式保存，称为音频采样数据。试给出用最少的比特数来保存if的原理（假设允许有不超过E的误差）。解：数值分析2011－2012第1学期09计算专升期末试卷A参考答案及评分标准一、判断题（每小题2分，共20分）1、F2、T3、F4、F5、T6、F7、T8、F9、T10、F二、计算题（每题8分，共40分）１、设有微分方程。试以0.1为步长的Euler方法，计算的近似值：解：Euler方法是以为起点，以为切线，构造直线，并以所构造直线在点处的值作为的近似，写成表达式有（5分）依次计算的结果（8分）２、设，已知节点，上的函数值为：，试构造Lagrange插值函数，并计算的近似值，并估计误差。解：构造Lagrange插值基函数则Lagrange插值函数为所以（6分）由Lagrange插值余项知所以（8分）３、设有实验数据试卷第10页共11页1.361.731.952.2814.09416.84418.47520.963试求与的函数关系。解：由图上可以看出与大致呈线性关系。设记，现在的目标是确定使达到最小。为此，令写成矩阵的形式有（6分）解之，得，即与的函数关系大致为（8分）４、Leonardo于1225年研究了方程并得出了是这个方程的一个根，当时无人知晓这个解是如何得到的，你能用Newton迭代法求出来吗？（提示：验证这个方程只有一个根，找出有根区间，再作迭代）解：记，因为，所以是单调增加的，并且，所以在上必有一个根，这个根也是方程的唯一一个根。构造Newton迭代方法（5分）计算3次的结果（3分）５、试用列选主元素高斯消去法求线性方程组的解。解：列选主元素方法的目标是为了保证在高斯消去的过程中保证分母不会是最小的。（4分）求解得（8分）三、计算题（第1题20分，第2题12分，共32分）１、设有线性方程组，其中试求（1）给出解线性方程组的Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代矩阵（2）判断解线性方程组的Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的收敛性；（3）选取收敛速度较快的一种迭代方法，取进行四次迭代计算解：（１）记，则Jacobi迭代矩阵与常向量分别为，记则G-S迭代矩阵与常向量分别为（8分）试卷第11页共11页（２）由于A是严格对角占优阵，所以两种迭代都是收敛的，且由此可知，所以G-S迭代比Jacobi迭代收敛更快。（16分）（３）选取G-S迭代，以为初值，做四次迭代计算，其结果为（20分）２、试用数值积分的方法计算的近似值（真值约为0.69314718）。解：因为，记，，做4等分，其等分点为，对应的函数值为所以（10分）其误差为（12分）四、应用题（每题8分，共8分）1、设表示了一段音频数据，以实数的形式保存，称为音频采样数据。试给出用最少的比特数来保存的原理（假设允许有不超过的误差）。解：设函数描述了音频信号，显然采样的时刻是不重复的，即当。选择一组标准正交的函数族，则必定存在使得在离散情况下上式可改写为只要选择得当，上式总有，比如选取即可，若进一步取，则还有，即，当较大时，若选取适当的量化系数，则有，所得到的中将有大量的零出现，从而可用编码的方式使得用较少的比特数来保存。（8分，注：此题可有不同的方法，其基本思想是将用给定形式的“多项式”来表示，当“多项式”的系数能在较小的下标范围内与零很接近，那么通过量化“多项式”的系数，从而使得新得到的系数中有大量的重复元素零，从而减少存储的空间。）