数值分析试题1

数值分析考试题一、填空题(每小题3分，共15分)1.已知x=62.1341是由准确数a经四舍五入得到的a的近似值，试给出x的绝对误差界_______________.2.已知矩阵1221A，则A的奇异值为_________.3.设x和y的相对误差均为0.001，则xy的相对误差约为____________.4.424()53,,()_____.iifxxxxifx若=则5.下面Matlab程序所描述的数学表达式为________________________.a=[10,3,4,6];t=1/(x-1);n=length(a)();1:1:1*();yanforknytyakend二、(10分)设32()()fxxa。（1）写出解()0fx的Newton迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。三、(15分)已知矛盾方程组Ax=b，其中21110,1101211Ab，（1）用Householder方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。（2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。四、(15分)给出数据点：012343961215iixy（1）用1234,,,xxxx构造三次Newton插值多项式3()Nx，并计算1.5x的近似值3(1.5)N。（2）用事后误差估计方法估计3(1.5)N的误差。五、(15分)（1）设012{(),(),()}xxx是定义于[-1，1]上关于权函数2()xx的首项系数为1的正交多项式组，若已知01()1,()xxx，试求出2()x。（2）利用正交多项式组012{(),(),()}xxx，求()fxx在11[,]22上的二次最佳平方逼近多项式。六、(15分)设1()Px是()fx的以33(1),(1)33为插值节点的一次插值多项式，试由1()Px导出求积分20()Ifxdx的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。七、(15分)已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式(1)()()1),1,2,,nkkkiiiijjjiixxbaxina（（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）证明当A是严格对角占优阵，12时此迭代格式收敛。数值分析答案一、填空题(每小题3分，共15分)1.41102.2.123,13.0.0024.1205.23346101(1)(1)yxxx二、（10分)解：（1）因32()()fxxa，故'23()6()fxxxa。由Newton迭代公式：1'(),0,1,2,()kkkkfxxxkfx得321232()5,0,1,2,6()66kkkkkkkxaaxxxkxxax（2）上述迭代格式对应的迭代函数为25()66axxx，于是'35()63axx，又*3xa，则有'*335511()()163632axa且0，故此迭代格式是线性收敛的。15(1)(2,1,2),(3,0,0),(5,1,2)125510105101121512514215151102410211331410510110551421115010211(2TTTTTxyuxyuuHIuuHARQH三分）法一：（.0111111105331411)514,,1511051021/3263187,,17/1522575TTQRQRxbRxQbx11111111111222(1)(2,1,2),(3,0,0),(1,1,2)11122121121112122331224221331413114(14/11,3/11,4/11),(14/11,5/11,0TTTTTTxyuxyuuHIuuHAAxy法00二：22222222121),(0,8/11,4/11)10005001121084034551042043105103314115142,05151110211001051(2)51415102TTTTTuxyuuHIuuQHHRQAQ1111133141,,110551263187,,151722575TTRQRxbRxQbx33333133.15()93(1)4.5(1)(2)2(1)(2)(3)(1.5)5.6250,()364.5(1)3(1)(2)(1.5)7.5000,1.54(1.5)(1.5)((1.5)(1.5))1.17194NxxxxxxxNNxxxxxxxNRfNNN四（分）五、(15分)（1）设221100()()()xxkxkx则利用2()x和01(),()xx的正交性得14201012001,()3(),()5xdxxxkxxxdx15211114111,()0(),()xdxxxkxxxdx故222033()()55xxxx（2）首先做变量代换12xt，将区间从11[,]22变换到[-1，1]，则()()2tfxxFt对()2tFt，取20123()1,(),()5ttttt，有1132001011220010121111411115322212122222112(),()342(),()8232(),()0(),()33()()525(),()(),()3()5ttdttdtFttctttdttdttttdtFttctttdttttdttdtFttcttttdt10164220632(())551335620163962()72525ttttdt所以20011223353()()()()()8965stctctctt故()fxx在11[,]22上的二次最佳平方逼近多项式2355()2432sxx。六、(15分)21033()((1))((1))33IfxdxffI(4)22210(4)22202(4)220(4)(4)()33((1))((1))4!33()33((1))((1))4!33()1(1)4!3()81()4!45135fIIxxdxfxxdxfxdxff(1)()11.(15)(1)()kkxBxgBDDAgDb七分迭代矩阵右端向量1122D=nnaaa111112,111()maxmax1(11)1222.niiijjjinnijijininjjiiiijiAaaaaBBaa（）严格对角占优即所以此迭代格式收敛第一章绪论1．设,的相对误差为，求的误差。解：近似值的相对误差为而的误差为进而有2．设的相对误差为2%，求的相对误差。解：设，则函数的条件数为又,又且为2