数值分析试题A06.12

中国石油大学（北京）2006--2007学年第一学期研究生期末考试试题A(闭卷考试)课程名称：数值分析注：计算题取小数点后四位题号一二三四五六七总分得分一、填空题(每空2分，共20分)(1)设219.15456x为真值219.15123Tx的近似，则x有位有效数字。(2)设数据12,xx的绝对误差分别为0.0005和0.0002，那么12xx的绝对误差约为_____。(3)设842()4321fxxxx则差商018[2,2,,2]_________f。(4)设求积公式1001()(),()nkkkfxdxAfxn是Gauss型求积公式，则30nkkkAx。(5)设1032A,则()A=。(6)数值微分公式(2)(2)'()iiifxhfxhfxh的截断误差为。(7))(,),(),(10xlxlxln是以nxxx,,,10为节点的拉格朗日插值基函数，则0(1)()nnkkkxlx。(8)利用两点Gauss求积公式11()(0.5774)(0.5774)fxdxff，则20()fxdx。（9）解初值问题00)(),(yxyyxfy的改进的欧拉法是阶方法。(10)下面Matlab程序所求解的数学问题是。（输入A,b,输出X）X=zeros(n,1);X(n)=b(n)/A(n,n);fori=n-1:-1:1X(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)*X(i+1:n))/A(i,i);end所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效二、(15分)已知函数值表0123()361012iixfx（1）用012,,xxx构造二次Newton插值多项式2()Nx，计算当1.2x时()fx的近似值；（2）用事后误差估计方法估计2(1.2)N的误差。三、（10分）试建立下述形式的求积公式，并确定它的代数精度。2''01010()[(0)()][(0)()]hfxdxhafafhhbfbfh四、（15分）已知数据表如下，210122234511111iiixyw（1）构造关于点集和权的正交函数组012{(),(),()}xxx（2）利用012{(),(),()}xxx拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差2。五、(15分)设线性方程组为11112212112222axaxbaxaxb，11220aa（1）写出解此方程组的雅可比迭代格式和高斯-赛德尔迭代格式（分量形式）；（2）证明用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散；（3）当同时收敛时试比较其收敛速度。六、(10分)（1）证明对任何初值0xR，由迭代公式1cos,0,1,2,...kkxxk所产生的序列0kkx都收敛于方程cosxx的根。（2）写出求方程cosxx根的牛顿迭代格式。七、(15分)已知矛盾方程组Ax=b，其中11120,1211Ab，（1）用Householder方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。（2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。数值分析试卷A答案一、填空题(每空2分，共20分)（1）5（2）0.0007（3）4（4）1/4（5）2（6）2()Oh（7）(1)nx（8）20()(0.4226)(1.5774)fxdxff（9）2（10）解上三角形方程组二、(15分)(1)建立如下差商表()03163210412iixfx一差商二差商三差商()1621043122-1iixfx一差商二差商（4分）22()3312(1)(1.2)33.60.126.72(4NxxxxN分)22()64(1)-(1)(2)(1.2)60.8+0.166.96(3NxxxxN分）22222(1.2)(1.2)1.2-01.2-11.2-21.2-11.2-21.2-3(1.2)(1.2)1.2(1.2)(1.2)((1.2)(1.2))0.0963fNfNRfNNN（）（）（）（）（）（）(4分)三、解：令公式对23()1,,,fxxxx都准确成立，则有010011111112122134aaabbabab(4分)解之可得010111;212aabb，故所求积分公式为2''0()[(0)()][((0)())]212hhhfxdxffhffh(4分)当4()fxx时，左边=5115h，右边=5235111(4)2126hhhh右边左边，所以原公式只具有3次代数精度。(2分)四、解：（1）首先构造构造关于点集和权的首一正交多项式.2,1,0),(ixi显然1)(0x，设axx)(1，2122)(bxbxx则1212201212124212111,,11114212bbabbababbabba由0110((),())0Txx得a=0，故有xx)(1。由0220((),())0Txx和1221((),())0Txx得121001050bb，即1202bb因此，22()2xx。(5分)（2）设2001122()()()()pxaxaxax，则000000011111112222222((),)16((),())5((),)4((),())5((),)1((),())7TTTTTTxyYaxxxyYaxxxyYaxx221641()(2)557pxxx(5分)22222000111222||||((),())((),())((),())Yaxxaxxaxx2221641458()5()10()140.114355735(5分)五、(15分)(1)雅可比迭代格式(k1)(k)1112211(k1)(k)2221122()/()/xbaxaxbaxa高斯-赛德尔迭代格式(k1)(k)1112211(k1)(k+1)2221122()/()/xbaxaxbaxa(6分)(2)雅可比迭代矩阵12111221212211220/J,,()/0aaaarJraaaa记高斯-赛德尔迭代矩阵1211122111220/G,(G)0aaraaaa1,(J)1,(G)1;1,(J)1,(G)1;rr当时当时所以雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法要么同时收敛，要么同时发散；(6分)（3）1,r当时雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法同时收敛，由于,()()rrGJ即，所以高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快。(3分)六、(10分)记()cosxx，则'()sinxx。（1）先考虑区间[-1，1]，当[1,1]x时，()cos[1,1]xx，'()'(1)sin11x。故对任意初值0[1,1]x，由迭代公式1cos,0,1,2,...kkxxk产生的序列0kkx都收敛于方程cosxx的根。(2分)（2）对任意初值0xR，有10cos[1,1]xx，将此1x看成新的迭代初值，则由（1）可知，由迭代公式1cos,0,1,2,...kkxxk产生的序列0kkx都收敛于方程cosxx的根。(3分)（3）牛顿迭代公式1cos,0,1,2,...1sinkkkkkxxxxkx(5分)七、(15分)(1)(1,2,2),(3,0,0),(4,2,2)TTTxyuxy11168812211218442211231844212TTuuHIuu122222222222221313013043(13,1/3,4/3),(1/3,17/3,0)(0,(117)/3,43)00011210(117)4(117)1717104(117)161700101431704113TTTTHAAxyuxyuuHIuuQHH1710631321729,0173170021776TRQA(10分)111111111172173131(2)102,,317017369(1617)/317,(7217)/31710181772171018177217,,9171715317TTTTQRQRxbRxQbxRQb(5分)