数值分析课后习题答案

第一章题12给定节点01x，11x，23x，34x，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：（1）（1）3()432fxxx（2）（2）43()2fxxx解（1）(4)()0fx，由拉格朗日插值余项得(4)0123()()()()()()()04!ffxpxxxxxxxxx；（2）(4)()4!fx由拉格朗日插值余项得01234!()()()()()()4!fxpxxxxxxxxx(1)(1)(3)(4)xxxx.题15证明：对于()fx以0x，1x为节点的一次插值多项式()px，插值误差01210()()()max()8xxxxxfxpxfx.证由拉格朗日插值余项得01()()()()()2!ffxpxxxxx，其中01xx，010101max()()()()()()()()2!2!xxxfxffxpxxxxxxxxx01210()max()8xxxxxfx.题22采用下列方法构造满足条件(0)(0)0pp，(1)(1)1pp的插值多项式()px：（1）（1）用待定系数法；（2）（2）利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0pp，(1)1p的插值多项式()px.解（1）有四个插值条件，故设230123()pxaaxaxax，2123()23pxaaxax，代入得方程组001231123010231aaaaaaaaa解之，得01230021aaaa23()2pxxx；（2）先求满足插值条件(0)(0)0pp，(1)1p的插值多项式()px，由0为二重零点，可设2()pxax，代入(1)1p，得1a，2()pxx；再求满足插值条件(0)(0)0pp，(1)(1)1pp的插值多项式()px，可设22()(1)pxxbxx，2()22(1)pxxbxxbx，代入(1)1p，得1b，2223()(1)2pxxxxxx.题33设分段多项式323201()2112xxxSxxbxcxx是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数,bc的值.解由(1)2S得212bc，1bc；223201()6212xxxSxxbxcx，由(1)5S得625bc，21bc；联立两方程，得2,3bc，且此时6201()12212xxSxxbx，(1)8(1)SS，()Sx是以0,1,2为节点的三次样条函数.题35用最小二乘法解下列超定方程组：24113532627xyxyxyxy.解记残差的平方和为2222(,)(2411)(353)(26)(27)fxyxyxyxyxy令00fxfy，得3661020692960xyxy，解之得83027311391xy.题37用最小二乘法求形如2yabx的多项式，使与下列数据相拟合：x1925313844y19.032.349.073.397.8解拟合曲线中的基函数为0()1x，20()xx，其法方程组为0001010001(,)(,)(,)(,)(,)(,)fafb，其中00(,)5，0110(,)(,)5327，11(,)7277699，0(,)271.4f，1(,)369321.5f，解之得5320.97265472850.055696ab，20.97260.05yx.第二章题3确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度：（2）10120113()()()()424fxdxAfAfAf（2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，11000013()()224()11133()()4244xxAlxdxdx，11110013()()144()11133()()2424xxAlxdxdx，11220011()()242()31313()()4442xxAlxdxdx，10211123()()()()343234fxdxfff，当3()fxx时，有左边＝113001()dd4fxxxx，右边＝3332111232111231()()()()()()3432343432344fff，左边＝右边，当4()fxx时，有左边＝114001()dd5fxxxx，右边＝44421112321112337()()()()()()343234343234192fff，左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.题8已知数据表x1.11.31.5xe3.00423.66934.4817试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分1.51.1xedx.解辛甫生法1.51.1xedx1.51.13.004243.66934.48171.477546；复化梯形法1.51.1xedx0.23.004223.66934.48171.482452.题17用三点高斯公式求下列积分值12041dxx.解先做变量代换，设)(tx，则1204d1xx＝112112418dd124(1)1(1)4tttt222588858999401334141553.141068.第三章用欧拉方法求解初值问题yaxb，(0)0y：（1）试导出近似解ny的显式表达式；解（1）其显示的Euler格式为：11111(,)()nnnnnnyyhfxyyhaxb故122()nnnyyhaxb100()yyhaxb将上组式子左右累加，得0021()nnnyyahxxxnhb(02(2)(1))ahhhnhnhnhb2(1)/2ahnnnhb题10选取参数p、q，使下列差分格式具有二阶精度：1111(,)nnnnyyhKKfxphyqhK.解将1K在点(,)nnxy处作一次泰勒展开，得11(,)nnKfxphyqhK21(,)(,)(,)()nnxnnynnfxyphfxyqhKfxyOh221(,)(,)(,)(,)(,)()(,)()nnxnnnnxnnynnynnfxyphfxyqhfxyphfxyqhKfxyOhfxyOh2(,)(,)(,)(,)()nnxnnnnynnfxyphfxyqhfxyfxyOh代入，得21(,)(,)(,)(,)()nnnnxnnnnynnyyhfxyphfxyqhfxyfxyOh2231(,)(,)(,)(,)()nnnnxnnnnynnyyhfxyphfxyqhfxyfxyOh而231()()()()()()2nnnnnhyxyxhyxhyxyxOh23()(,())(,())(,())(,())()2nnnxnnnnynnhyxhfxyxfxyxfxyxfxyxOh考虑其局部截断误差，设()nnyyx，比较上两式，当12p，12q时，311()()nnyxyOh.第四章题2证明方程1cos2xx有且仅有一实根；试确定这样的区间[,]ab，使迭代过程11cos2kkxx对一切0[,]xab均收敛.解设1()cos2fxxx，则()fx在区间(,)上连续，且11(0)cos0022f，1()cos022222f，所以()fx在[0,]2上至少有一根；又1()1sin02fxx，所以()fx单调递增，故()fx在[0,]2上仅有一根.迭代过程11cos2kkxx，其迭代函数为1()cos2gxx，[0,]2x，110()cos222gxx，()[0,]2gx；1()sin2gxx，1()12gx，由压缩映像原理知0[0,]2x，11cos2kkxx均收敛.注这里取[,]ab为区间[0,]2，也可取[,]ab为区间(,)等.题5考察求解方程1232cos0xx的迭代法124cos3kkxx（１）（１）证明它对于任意初值0x均收敛；（２）证明它具有线性收敛性；证（1）迭代函数为2()4cos3gxx，(,)x，()(,)gx；又22()sin133gxx，由压缩映像原理知0x，124cos3kkxx均收敛；（2）***1*2lim()sin03kkkxxgxxxx（否则，若*sin0x，则*,xmmZ，不满足方程），所以迭代124cos3kkxx具有线性收敛速度；题7求方程3210xx在01.5x附近的一个根，证明下列两种迭代过程在区间[1.3,1.6]上均收敛：（１）（１）改写方程为211xx，相应的迭代公式为1211kkxx；（２）（２）改写方程为321xx，相应的迭代公式为2311kkxx.解（1）3232211011xxxxxx，迭代公式为1211kkxx，其迭代函数为21()1gxx[1.3,1.6]x，2221111.31.39061111.59171.61.61.3x，()[1.3,1.6]gx；又32()gxx，333222-0.9103==-0.48831.31.6x，()0.91031gx，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x，1211kkxx均收敛；（2）3323221011xxxxxx，迭代公式为2311kkxx，其迭代函数为32()1gxx[1.3,1.6]x，3332221.31.390811.3111.61.52691.6x，()[1.3,1.6]gx；又2232()3(1)xgxx，332223322221.60=0.4912333(1)3(2)xxxxx，()0.49121gx，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x，2311kkxx均收敛.题5分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组：1231231235325242511xxxxxxxxx（2）其雅可比迭代格式为(1)()()123(1)()()213(1)()()312253512221121555kkkkkkkkkxxxxxxxxx，取初始向量(0)000x，迭代发散；其高斯-塞德尔迭代格式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312253512221121555kkkkkkkkkxxxxxxxxx，取初始向量(0)000x，迭代发散.第六章题2用主元消去法解下列方程组）12312312323553476335xxxxxxxxx解（2）对其增广矩阵进行列主元消元得2355347634763476347623550