数值分析课后习题部分参考答案

数值分析课后习题部分参考答案Chapter1（P10）5.求2的近似值*x，使其相对误差不超过%1.0。解：4.12。设*x有n位有效数字，则nxe10105.0|)(|*。从而，1105.0|)(|1*nrxe。故，若%1.0105.01n，则满足要求。解之得，4n。414.1*x。（P10）7.正方形的边长约cm100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过12cm。解：设边长为a，则cma100。设测量边长时的绝对误差为e，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e1002。按测量要求，1|1002|e解得，2105.0||e。Chapter2（P47）5.用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：011012111A。解：设1A。分别求如下线性方程组：001A，010A，100A。先求A的LU分解（利用分解的紧凑格式），3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1)1(。即，121012001L，300210111U。经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组，001Ly和yU，得，100；010Ly和yU，得，323131；100Ly和yU，得，；313231。所以，3132132310313101A。（P47）6.分别用平方根法和改进平方根法求解方程组：816211515311401505231214321xxxx解:平方根法：先求系数矩阵A的Cholesky分解（利用分解的紧凑格式），1)15(2)1(1)5(3)3(3)14(2)0(1)1(1)5(2)2(1)1(，即，121332100120001L，其中，TLLA。经平方根法的回代程，分别求解方程组81621Ly和yxLT，得，1111x。改进平方根法：先求系数矩阵A的形如TLDLA的分解，其中44)(ijlL为单位下三角矩阵，},,,{4321dddddiagD为对角矩阵。利用计算公式，得11d；;1,2,222121dlt;9,2,1,2,1332313231dlltt1,32,1,3,6,1,34434241434241dlllttt。分别求解方程组，81621Ly和yxDLT，得，1111x。（P48）12.已知方程组198.099.0199.02121xxxx的解为100,10021xx。（1）计算系数矩阵的条件数；（2）取TTxx)5.99,5.100(,)0,1(*2*1，分别计算残量)2,1(*iAxbrii。本题的计算结果说明了什么？解：（1）设98.099.099.01A，求得，100009900990098001A。从而，39601)(1ACond。（2）计算得，Tr)01.0,0(1，01.011r；Tr)985.0,995.0(2，98.112r。这说明，系数矩阵的条件数很大时，残量的大小不能反映近似解精度的高低。Chapter3（P72）3.用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代求解方程组1221122321321321xxxxxxxxx取初值Tx)0,0,0()0(，迭代4次，并比较它们的计算结果。解：由方程组得，1221122213312321xxxxxxxxx从而，Jacobi迭代格式为：1221122)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx，.,2,1,0kGauss-Seidel迭代格式为：1221122)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx，.,2,1,0k整理得，1232122)(3)1(3)(3)(2)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkxxxxxxxx，.,2,1,0kJacobi迭代：TTTTTxxxxx)1,3,3()1,3,3()3,1,1()1,1,1()0,0,0()4()3()2()1()0(Gauss-Seidel迭代：TTTTTxxxxx)15,51,43()7,15,11()3,3,1()1,0,1()0,0,0()4()3()2()1()0(Jacobi迭代中)3(x已经是方程组的精确解，而从Gauss-Seidel迭代的计算结果，可以预见它是发散的。（P73）9.设有方程组33122113214bxaxbxaxbaxaxx（1）分别写出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的计算公式，（2）用迭代收敛的充要条件给出这两种迭代法都收敛的a的取值范围。解:由方程组得，313231213214baxxbxaxxbaxaxx从而，Jacobi迭代格式为：3)(1)1(32)(1)1(21)(3)(2)1(14baxxbaxxbaxaxxkkkkkkk，.,2,1,0k迭代矩阵为：000040aaaaB设0||BI，求得，||5|,|5,0321aa，故||5)(aB。另由Jacobi迭代格式，得Gauss-Seidel迭代格式为：31)(32)(22)1(321)(32)(22)1(21)(3)(2)1(1444babxaxaxbabxaxaxbaxaxxkkkkkkkkk，.,2,1,0k迭代矩阵为：222204400aaaaaaG设0||GI，求得，23215,0,0a，故25)(aG。另外，应保证方程组的系数矩阵非奇异，解得，55a。由迭代收敛的充要条件得，Jacobi迭代收敛55||a；Gauss-Seidel迭代收敛55||a。故，使得两种迭代法都收敛的a的取值范围是相同的：55||a。（P74）12.证明对称矩阵111aaaaaaA当121a时为正定矩阵，且只有当21||a时，Jacobi迭代解bAx才收敛。解:A为正定当且仅当以下三个不等式同时成立：0111,011,01aaaaaaaa，解之得，121a。此时解方程组的Gauss-Seidel迭代收敛。另外，可得解方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵为000aaaaaaB解得，||2)(aB。由收敛的充要条件，Jacobi迭代收敛当且仅当21||a。Chapter5（P140）7.设nxxx,,,10为1n个互异节点，),1,0)((njxlj为这组节点上的n次Lagrange插值基函数，试证：（1）njkjkjnkxxlx0,1,0,)(；（2）njjkjnkxlxx0,1,0,0)()(。证：（1）对于固定的},,2,1{nk，设njjkjxlxxP0)()(，则)(xP为次数不超过n的多项式，且kiixxP)(，ni,,1,0而对于多项式函数kx当然也满足如上的等式条件以及次数n，由Lagrange插值问题的适定性，kxxP)(。（2）对于固定的},,2,1{nk，njjijkiikikikikijnjnjkiikikjjkjxlxxCxxCxlxlxx00000)()1()1()()()(0)()1(0kikiikikikxxxxC，证完。Chapter6P1639.设),2,1,0()(kxk是区间1,0上权函数为xx)(的最高项系数为1的正交多项式系，其中1)(0x，试求10)(dxxxk和)(2x。解：由),2,1,0()(kxk的正交性，当0k时，100100)()()()(dxxxxdxxxkk；当0k时，101021)(xdxdxxxk。另外，设baxxx22)(，其中ba,为待定系数。由),2,1,0()(kxk的正交性，1021020)(0)(xdxxxdxxx，即02131410314151baba。解之得，103,56ba。故，10356)(22xxx。P16311（3）利用正交函数族，求下列函数的最小二乘三次拟合多项式：5,,1,0,,2.0,)(2.0kekxexfkkkx解：设))(,),(),((510xfxfxfy，及对于任意两个函数)(),(21xx，502121)()(),(kkkkxx，5022)()(),(kkkkxxfy。再设关于如上定义的),(的0次，1次，2次，3次正交多项式分别为fexdxxxPcbxxxPaxxPxP2332210)()()(1)(，其中，fedcba,,,,,为待定系数。由正交性，0)1,(1P，求得a；,0),(,0)1,(22xPP求得cb,；,0),(,0),(,0)1,(2333xPxPP求得fed,,。设所求的最小二乘三次拟合多项式为30)()(kkkxPax，其中3,2,1,0,kak为待定系数。则，3,2,1,0,),(),(kPPPyakkkk。P16313（2）求下列函数在指定区间上的一次最佳平方逼近多项式：]1,0[,)(xexfx解：设所求多项式为baxx)(，其中ba,为待定系数。则，1,0,0))()((),(10kdxxxxfxfkk，化简并计算得关于ba,的方程组，12131121baeba，解之得，104,)3(6ebea。Chapter7P2058求近似公式10)]43(2)21()41(2[31)(fffdxxf的代数精确度。解：令1)(xf，则公式左端=1，右端=1；令xxf)(，则公式左端21，右端21；令2)(xxf，则公式左端31，右端31；令3)(xxf，则公式左端41，右端41；令4)(xxf，则公式左端51，右端19237，左端右端。故，公式的代数精确度为3。P20511若用复化梯形公式计算积分dxex102，问积分区间要等分为多少份才能保证计算结果有四位有效数字（假定计算过程无舍入误差）？若用复化Simpson公式计算，积分区间应等分为多少份？解：考虑2xe的Maclaurin级数展开：,!3!216422xxxex可得，当]1,0[x时，212xex。从而132102dxex。按照精度要求，绝对误差41021。