数值计算方法教案5-2

§3最佳平方逼近3．1法方程设已知],[)(baCxf，且选择一函数类)(,),(),(10xxxSpanSn，其中],[)(baCxi且设)(,),(0xxn在],[ba上线性无关（例如取nHS或nxnxxxScos,sin,,cos,sin,1等）。研究最佳平方逼近问题：寻求SxPn)(*dxxPxfxdxxPxfxnbabaSxP2*2)())()(()())()(()(min（3．1）或写为22*22)(minxpfpfnSP这里我们主要研究],[)(baCxf最佳平方逼近函数)(*xPn存在性，唯一性，计算等问题。设有SxPn)(*，即njjjnxaxP0**)()(使（3．1）式成立，来考查*ja应满足什么条件。对于任一SxP)(，即有njjjxaxP0)()(，于是dxxPxfxPfba222))()(()(dxxaxfxnjjjba20))()(()(),,,(10naaaI(3.2)dxxPxfxPfnban2*22*))()(()(dxxaxfxnjjbaj20*))()(()(),,,(***10naaaI(3.2)式说明均方误差是),,(10naaa多元函数（为二次函数），由设存在)(*xPn是极值问题（3.1）解，即说明存在),,(***10naaa使),,(),,,(min1010nnaaaaIaaaIi实数由多元函数取极值的必要条件，则有),,1,0(0),]([0nkaaaInk（3.3）计算)))()()()()(((2)))()()(((2dxxxaxfxdxxaxfxaaIkbajjbajjkk由（3。3）式，则有),,,(**1*0naaa应满足方程组),,1,0()()()()()()(0nkdxxxfxdxxxaxbanjbakkjj或),,1,0()()()())()()((0*nkdxxxfxadxxxxnjhakjbajk或),,1,0(),(),(0*nkfanjkjjk总结上述讨论有结论：（1）如果SxaxPjnjjn)()(0**是],[)(baCxf最佳平方逼近函数，则)(a系数),,(**0naa满足方程组dGafffaaannnnnnnn或),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101110101000（3.4）其中系数矩阵G是由基函数作内积构成，方程组dGa称为法方程组。（b）误差函数与基函数正交，即).,,1,0(0),(nkPfkn事实上，由（3.4）式有),())(,(0knjjjkfxa即0),(),(kknfP所以),,1,0(,0),(nkPfkn（2）由上在baxxxn,)(,),(),(10线性无关得|G|≠0，则法方程组dGa有唯一解baCxfsxaxPnjjjn,)()()(0为在S中最佳平方逼近函数。事实上，),,1,0(),(),(0nkfakjnjjk即有),,1,0(,0),(*nkPfkn（3.5）如果能证明，对任何njjjSxaxP0)()(，则有22*22nPfPf那么，SxPn)(*满足22*22minnSPPfPf考查（记**)(PxPn）),(22PfPfPf),(****PPPfPPPf),(),(****PPPPPfPf),(2**PPPf因),,0(,0),(*nkPfk,0),(**PPPf）22*22*PPPfSxPPf)(,22*（因为)()(0**xaaPPiniii），及（3.5）式有0),(**PPPf总结上述讨论有结论：定理6（最佳平方逼近）（1）设baCxf,)(；（2）选择函数类)(,),(),(10xxxSpanSn其中),,1,0(],,[)(nibaCxi且)(,),(0xxn于],[ba线性无关。则(a)],[)(baCxf在S中最佳平方逼近函数SxPn)(*存在且唯一，即存在SxPn)(*使banbaSPdxxPxfxdxxPxfx2*2))()()(())()()((min(b)可由解法方程组),,1,0(),(),(0nkfanjkjjk求得],,[**0naa，于是baCxf,)(的最佳平方逼近函数为njjSxaxPj0**)()(dxxPxfxPfba2*22*))()(()(),(**PfPf),(),(),(),(),(2),(),(*******PfPfPPffPfPPff),(*22Pff（因为0),(),(),(*****PfPPfPP）3．2用多项式作最佳平方逼近已知baCxf,)(。（1）选取1)(},,,,1{xxxHSnn寻求nnjjjnHxaxP0**)(使dxxPxfdxxPxfbanbaHpn2*2))()(())()((min显然，),,,1,0()(njxxjj计算kkbakjkjkbajkjkddefinedxxxffabjkdxx)(),()(11),(11（2）求解法方程组：dGa即得：)()(0**xaxPjnjjn特别，设1)(],1,0[)(xCxf，则10101)(),(11),(kkkkjkddxxxffjkdxx法方程组为：nndddaaannnnn1010121211111312111211（或dGa）求解dGa，则可得njjjnxaxp0**)(上述矩阵G称为Hilbert矩阵，是一个著名病态矩阵（对解dGa而言），且随n增大，G病态愈严重，求得dGa比较准确的计算解就愈困难。因此，取nH中基},,,1{nxx，求)(xf是佳平方逼近多项式),(*xpn当n较大时用一般计算方法求得的解是不可靠的，当n增加时，这种方程组计算解精度由舍入误差影响而迅速恶化。一个回避病态矩阵的的办法是取nH中正交基来做最佳平方逼近。3．3用正交多项式作最佳平方逼近设],[)(baCxf。（1）选取nH中正交基],[)},(,),(),({10baxxxxn权函数)(x，寻求njnjjnHxaxp0**)()(使banbaHxpdxxpxfxdxxPxfxn2*2)()]()()[()]()([)(min由设，jii当,0),(。（2）求解法方程组),(),(),(),(),(),(10101100nnnnfffaaa于是，),,1,0(,),(),(*njfajjjj得到],[)(baCxf在nH最佳平方逼近多项式njjjnxaxp0**)()(定理7（用正交多项式作最佳平方逼近）（1）设],[)(baCxf；（2）选取nH中正交基)},(,),(),({10xxxn即jidxxxxbajiji当,0)()()(),(，)(x为权函数，则],[)()(baCxfa在nH中最佳平方逼近多项式njjjnxaxP0**)()(其中，),,1,0(,)()()()()(),(),(2*njdxxxdxxxfxfabajbajjjjj)(b均方误差),(),(*22**22*nnnnPffPfPfPf=njjjaff0*22),(2*022*022),(),(jnjjjjnjjafaff由此，用正交多项式求得最佳平方逼近多项式，其中计算Gram矩阵时，只需计算对角元素，这大大降低了法方程组系数矩阵所涉及的定积分计算量。例4求xexf)(在[-1，1]上3次最佳平方逼近多项式。解取3H中正交基3210,,,PPPP其中30iiP为Legendre多项式。xexfx)(,1)(于[-1，1]在3H中3次最佳逼近多项式为：)()()()()(3*32*21*10*0*3xPaxPaxPaxPaxP其中11211*)()(),(),(dxxPdxxPePPPfajjxjjjj且)3,2,1,0(122),(jjPPjj表3-107046.033578.021036.111752.10*jaj所以由表3-1：32*31761.05367.09979.09963.0)(xxxxP]1,1[x下面画出xexf)(图形和近似函数32*31761.05367.09979.09963.0)(xxxxP的图形，直观感受3次最佳平方逼近多项式)(*3xP对于xexf)(的逼近效果。x=-1:0.01:1;y1=exp(x);y2=0.9963+0.9979*x+0.5367*x.^2+0.1761*x.^3;plot(x,y1,'k-.',x,y2,'r-')xlabel('x')ylabel('y')legend('f(x)=e^{x}','p_{3}^{*}(x)')title('\fontname{newroman}比较f(x)=e^{x}与其平方逼近函数p_{3}^{*}(x)=0.9963+0.9979x+0.5367x^{2}+0.1761x^{3}图形');-1-0.500.5100.511.522.53xy比较f(x)=ex与其平方逼近函数p3*(x)=0.9963+0.9979x+0.5367x2+0.1761x3图形f(x)=exp3*(x)以下介绍如何应用Chebyshev多项式作最佳平方逼近。设]1,1[)(Cxf。)(a选取nH中正交基)(,),(),(10xTxTxTn，其中)(,xTi为Chebyshev多项式。]1,1[],[ba，权函数211)(xx，寻求nkknHxTaxC)()(使dxxCxfxnHxCnn2112)()]()([11mindxxCxfxn2*112)]()([11)(b由定理7，]1,1[)(Cxf在nH中最佳平方逼近多项式为112*112000*00**)()(112),(),()(111),(),()()(dxxTxfxTTTfadxxfxTTTfaxTaxCkkkkknkkkn其中或112*1**0*),,1,0()()(112)(2)(nkdxxTxfxaxTaaxCkknkkkn其中)(c均方误差njjjjnaTTfCf02*2222*),(nkkaaf12**0222如果],[)(baCxf，要求)(xf在],[ba上最佳平方逼近多项式：作变换)11(,22tabtabx于是，)()22()(tFabtabfxf且]1,1[t可