数值计算方法的意义内容与方法

数值计算方法陈研[e-mail]:62732959新学科综合楼4-201中国农业大学资源和环境学院2005年9月§1数值计算方法的意义、内容与方法软件的核心就是算法。20世纪最伟大的科学技术发明---计算机计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能；计算机的发展和应用，已不仅仅是一种科学技术现象，而且成了一种政治、军事、经济和社会现象；没有软件的支持，超级计算机只是一堆废铁而已；算法犹如乐谱，软件犹如CD盘片，而硬件如同CD唱机。算法的研究和应用正是本课程的主题！现代科学研究的三大支柱理论研究科学实验科学计算计算数学21世纪信息社会的两个主要特征：“计算机无处不在”“数学无处不在”21世纪信息社会对科技人才的要求：--会“用数学”解决实际问题--会用计算机进行科学计算建立数学模型选取计算方法编写上机程序计算得出结果科学计算解题过程一、计算数学的产生和早期发展计算数学是数学的一个古老的分支，虽然数学不仅仅是计算，但推动数学产生和发展的最直接原因还是计算问题。二、二十世纪计算数学的发展数值代数最优化计算数值逼近计算几何概率统计计算蒙特卡罗方法微分方程的数值解法微分方程的反演问题数值计算的主要内容数值代数：方程求根、线性方程组求解、特征值和特征向量的计算、非线性方程组的求解；数值逼近：插值、数值微分和积分、最小二乘法；微分方程数值解：常微分方程数值解；偏微分方程数值解：差分法有限元法有限体积法教材数值计算方法徐涛编著（吉林科学技术出版社）参考书目应用数值方法使用MATLAB和C语言RobertJ.Schilling&SandraL.Harris（机械工业出版社）NumericalRecipesinC++TheArtofScientificComputingSecondEditionWilliamH.Press等著（电子工业出版社）现代数值分析李庆扬、易大义、王能超编著（高等教育出版社）§2算法一、算法的概念描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言（算法语言）给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌。定义：由基本运算及运算顺序的规定所构成的完整的解题步骤，称为算法。例1：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？算术方法：若没有小兔，则鸡应是17只总腿数：2＊17＝34一只小兔增加2条腿，应该有7221748只小兔10只小鸡代数方法：设有x只小鸡，y只小兔，(ii)4842(i)17)I(yxyx(-2)*(i)+(ii),得217-48)24(17)II(yyx72421748y只小兔高斯消去法例：求解二元一次联立方程组22221211212111bxaxabxaxa用行列式解法：首先判别12212211aaaaD（1）如果，则令计算机计算0D,1222211DababxDababx2111122输出计算的结果x1，x2。（2）如果D=0，则或是无解，或有无穷多组解。是否为零，存在两种可能：12212211Daaaa令通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：S2计算12212211DaaaaS3如果0D则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;否则0DD1212112babaxD2121221babaxS1输入2122211211,,,,,bbaaaaS4输出计算的结果21,xx输入2122211211,,,,,bbaaaaD=a11a22-a12a21D=0开始DababxDababx/)(/)(21111221222211输出x1,x2结束No输出无解信息Yes二、算法的优劣计算量小存贮量少逻辑结构简单例：用行列式解法求解线性方程组:n阶方程组，要计算n+1个n阶行列式的值，总共需要做n!(n-1)(n+1)次乘法运算。n=20需要运算多少次？n=100?一、误差的背景介绍1.来源与分类从实际问题中抽象出数学模型——模型误差§3数值计算中的误差例1:质量为m的物体，在重力作用下，自由下落，其下落距离s与时间t的关系是：mgdtsdm22（1.1）其中g为重力加速度。通过测量得到模型中参数的值——观测误差求近似解——方法误差(截断误差）机器字长有限——舍入误差用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来代替位数较多的有限小数，如：=3.1415926…3333.031x=8.12345四舍五入后……0000074.01416.31000033.0333.0312000044.01235.83x在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差（包括初始数据的误差）对计算结果的影响！二、绝对误差、相对误差和有效数字1．绝对误差与绝对误差限例2:若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。1.45米的绝对误差=？不知道！定义1：设x是准确值，x*为x的一个近似值，称*)(xxxe是近似值x的绝对误差,简称为误差。（1.5）但实际问题往往可以估计出不超过某个正数，即，，则称为绝对误差限，有了绝对误差限就可以知道x范围为)(xe*xx**xxx*xx],[**xx即x落在内。在应用上，常常采用下列写法来刻划x*的精度。2．相对误差和相对误差限xxxxe*（1.6）定义2：设x是准确值，x*是近似值，称rxxx*满足为近似值x的相对误差，相应地，若正数，r则称为x的相对误差限。r3．有效数字410211416.35102114159.3则说x*近似表示x准确到小数后第n位，并从这第n位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。定义3：如果nxx1021*（1.7）由上述定义0015926.014.3有效数位为3位0000074.01416.3有效数位为5位0000926.01415.3有效数位为4位误差的传播与积累例3：蝴蝶效应——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！NYBJ以上是一个病态问题§4数值计算中应该注意的一些原则1．要使用数值稳定的算法例4：求（n=0,1,2,…,8）的值。10dx5xxInn解：由于nxxxxIInnnnn1dxdn5551011011初值)2.1ln(5ln6lndx51100xI递推公式)8,,2,1(,51)2.1ln(10nInIInn（1.8）注意此公式精确成立按(1.8)式就可以逐步算出09.05101II05.052112II083.053123II165.054134IIWhathappened?!025.155145II952.456156II不稳定的算法！由递推公式（1.8）可看出，In-1的误差扩大了5倍后传给In，因而初值I0的误差对以后各步计算结果的影响，随着n的增大愈来愈严重。这就造成I4的计算结果严重失真。这就是误差传播所引起的危害!改变公式：nIInn151将公式变为不妨设I9I10，于是由10951501II可求得I90.017，按公式（1.9）可逐次求得)1,,1,(51511nnKIKIKk（1.9）I80.019I70.021I60.024I80.028I40.034I30.043I20.058I10.088I00.182稳定的算法！在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。2．要避免两个相似数相减在数值计算中，两个相近的数作减法时有效数字会损失。xxy1（1.10）的值。当x=1000，y的准确值为0.015801、直接相减02.062.3164.3110001001y2、将（1.10）改写为xxxxy111则y=0.01581例5:求类似地yxyxlnlnln2sin2cos2sin)sin(xxx2.绝对值太小的数不宜作除数2.2718001.07182.21.24710011.07182.2例6：如分母变为0.0011，也即分母只有0.0001的变化时3.避免大数吃小数例7：用单精度计算的根。010)110(992xx精确解为110291x,x算法1：利用求根公式aacbbx242在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1的指数部分须变为1010，则：1=0.00000000011010，取单精度时就成为：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010024,102422921aacbbxaacbbx算法2：先解出9211024)(aacbbsignbx11010991221xacxacxx注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。例8：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算4.先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。一般来说，计算机处理下列运算的速度为exp,,1+2+3+…+40+109再利用5.算法的递推性计算机上使用的算法常采用递推化的形式，递推化的基本思想是把一个复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复。这种重复在程序上表现为循环。递推化的优点是简化结构和节省计算量。多项式求值：给定的x求下列n次多项多的值。nnxaxaxaaxP2210)(解：1.用一般算法，即直接求和法；2.逐项求和法；3.秦九韶方法；例9：用秦和韶方法求多项式543200833.004167.016667.05.01)(xxxxxxP在x=-0.2的值。解：Ka5-KvK00.008330.00833v0=a510.041670.04v1=v0x+a420.166670.15867v2=v1x+a330.50.46827v3=v2x+a2410.90635v4=v3x+a1510.81873v5=v4x+a0