数值计算课堂提问(含参考答案)

课堂提问及参考答案第1章误差与误差分析1、在数值计算方法中，误差是如何分类的？答:误差按照来源可以分为4类:模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。其中，在本门课程中，前两种误差可称为固有误差，无法避免和改变；后两种误差可称为计算误差，是本门课程分析和研究的重点。另外，按照误差产生的过程，也分为过失误差和传播误差。2、求解方程x^2-56x+1=0的根。（已知根号783约为27.982。）答：根据二项式的求根公式可得783282456562422aacbbx即982.55982.2728783281x为避免相近数相减，从而丧失大量的有效数字，另一个根的计算可写成如下形式：017863.0982.551982.27281783281783282x第2章非线性方程的数值解法1、证明1-x-sin(x)=0在区间[0,1]内有一个根，若使用二分法求误差不大于0.5*10^（-4）的根要二分多少次?若取)sin(1)(xx，能否用不动点迭代法求根？答：令f(x)=1-x-sin(x)，显见f(x)为连续函数。f'(x)=-1-cos(x),当x在区间[0,1]时，0cos(1)=cos(x)=1，则f'(x)0，表明其单调递减。同时f(0)=10,f(1)=-sin(1)0，即f(0)*f(1)0，可得区间[0,1]内有且只有一个实根。根据题意:a=0,b=1,ε=0.5*10^（-4）由公式(2.4):2ln2ln)ln(abk可得3.132ln10ln42ln10ln1ln4k，取k=14，即需要二分14次。取迭代公式)sin(1)(xx，则1)1sin(1)1(,1)0sin(1)0(，即当x在区间(0,1]时，]1,0[)(x，1cos)('xx根据定理2.4(p23)，该迭代公式在取迭代初值在(0,1]时，收敛，可求出根。2、用不动点迭代法求根号131的数值解。答：本题的重点是构造迭代公式ψ(x)：令0Ax，为避免开方运算，变换为0)(2AxxfxAxx2，即Axxx2)(，但是注意到其导数远大于1，很可能发散。因此，可做如下变换：242424240222AxxxAxxxAx，即取2424)(2Axxx，此时112)('xx，因为根号131的值可以估计在区间(11,12)，故此其导数小于1，有可能收敛。注意：此迭代公式对于根在（0,12）之间才可能有效，因此不具有一般性。实际上，使用加权加速或松弛加速均可以得到类似的迭代公式。（教材，公式2.19或2.23）以加权加速为例：12)(',)(2xxAxxx，由于根在在区间(11,12)，取23)(',5.11**xLx，根据公式2.19，迭代公式为：2222)(1112AxxxLxLLx迭代的加速还有更好的解决办法，比如：牛顿迭代法构造迭代公式)(')(xfxfxx，即取xAxxAxxx222)(2%代码如下：A=131;fun1=@(x)x^2+x-A;%x=x^2+x-Afun2=@(x)-(x^2)/24+x+A/24;%类似加权加速的思想fun3=@(x)x/2+A/(2*x);%x=x/2+A/(2*x)牛顿迭代[x_star,k]=Iterate1(fun2,11)%取初值11，迭代公式fun2[x_star,k]=Iterate1(fun3,11)%取初值11，迭代公式fun3holdon,gridonfplot(fun2,[11,12])fplot(fun3,[11,12],'r')3.本章课后作业题1,利用迭代法证明22222lim个nn答案见课后作业。4.已知求A的（1/3）次方，有如下迭代格式a)x=5/9*x+5*A/(9*x^2)-A*A/(9*x^5)b)x=A/(3*x^2)+2*x/3哪种格式收敛较快？为什么？答：a)令6235229591095)(',99595)(xAxAxxAxAxx则已知3Ax，带入上式得0)('x724930930)(''xAxAx，同样带入3Ax，得0)(''x825370340)('''xAxAx，带入3Ax，得010)('''2xx所以a)格式是3阶收敛的。b)令3232)(',323)(32xAxxxAx则已知3Ax，带入上式得0)('x023636)(''4xxxAx所以b)格式是2阶收敛的，b)格式其实是牛顿迭代法的迭代格式，牛顿迭代法对于单根是平方收敛的。综上，a)格式收敛快。下面以求3125x为例，画出不同迭代格式对应的曲线图形，可以看到A=125;fun1=@(x)x;%对角线fun2=@(x)5/9*x+5*A/(9*x^2)-A*A/(9*x^5);%三阶收敛，红色线fun3=@(x)A/(3*x^2)+2*x/3;%牛顿迭代，平方收敛，黑色fun4=@(x)-x^3/48+x+A/48;%加权迭代，线性收敛，绿色holdon,gridonfplot(fun1,[4.5,5.5])fplot(fun2,[4.5,5.5],'r')fplot(fun3,[4.5,5.5],'k')fplot(fun4,[4.5,5.5],'g')5、以下不属于不动点迭代法的有(B、E)A、加权加速法；B、埃特金加速法C、牛顿下山法；D、割线法E、二分法F、松弛法G、牛顿平行弦法H、斯蒂芬森加速法I、单点割线法6、设用牛顿法求方程在区间[a,b]内的单根，已知其收敛，则它具有（B）敛速。A.线性B.平方C.超线性D.三阶7.设函数0)()(23axxf,写出解该方程的牛顿迭代格式，并求出此格式的收敛阶。答：牛顿迭代格式：)(6)(',)()(,)(')(3223axxxfaxxfxfxfxx其中所以2665xaxx，即32365)(',665)(xaxxaxx则已知ax3，则05.03165)('3a，所以对于重根，此时牛顿迭代法线性收敛。8.若把上式中的导数改为00)()(xxxfxfkk，其几何含义是什么？答：导数用差商形式，即是单点割线法的迭代形式。第3章线性方程组的数值解法1、线性方程组Ax=b，有解的条件是什么？答：R(A)=R(Ab)，即矩阵A和增广矩阵Ab秩相等时，该线性方程组有解；若R(A)=R(Ab)=n，即矩阵A和增广矩阵Ab满秩时，该线性方程组有唯一的解向量。2、已知向量Tx]4,3,2[，求向量x的三种范数。答：4}4,3,2max{maxiixx943211niixx294)3(22225.0122niixx3、线性方程组Ax=b，已知矩阵00001.6262A，则该方程组的性态是什么？答：A是非奇异矩阵，可由其条件数cond(A)是否远大于1来判断该方程组的性态。方法(1)、AAAcond1)(5555110101031035.0A所以1108.48106)(65Acond，故方程组是病态的。方法(2)、)()()(minmax2AAAAAcondTT0001.7224248AAT，110410580)(6122Acond，顾方程组是病态的。4、解线性方程组的列主元消去法中选择主元的目的是(A)A.控制舍入误差B.减小方法误差C.防止计算时溢出D.简化计算5、线性方程组的数值直接法中,追赶法用于求解对角占优的三对角线性方程组；平方根法用于求解对称正定矩阵的线性方程组。6、已知x=[1,2,...,n]，a=[2,3,...,n+1]，niiixay1，则使用matlab语句实现求y值的语句是y=a*x'或者y=x*a'。（不得使用循环语句）7、用杜利特尔分解法，笔算求解线性方程组1132321231112321xxx答：对系数矩阵包括常数项进行杜利特尔分解(先横后竖，先上后下)ALALALU211U132U12-3ALALALU221111U132U12-3ALALALU221111U1=1/2=0.532U1=1/2=0.52-3ALALALU221111U10.53=3-0.5*1=2.52=2-0.5*1=1.5U10.52-3ALALALU221111U10.53=3-0.5*1=2.52=2-0.5*1=1.5U10.52=(2-0.5*1)/2.5=0.6-3=-3-0.5*1-0.6*1.5=-4.4所以4.4005.15.20112,16.05.0015.0001UL令Ly=b,即113216.05.0015.0001321yyy，解出y=[2,2,8.8]T.则有8.8224.4005.15.20112321xxx，解出x=[1,2,-2]8、判断：高斯赛德尔迭代法在雅克比迭代法的基础上进行了某种程度的加速，故若雅克比迭代收敛，则高斯赛德尔迭代也必然收敛。答：前一句正确，后一句错误，总体错误。因为这种加速不能确定其加速的正确性，通俗的说，加速有可能过量。迭代的收敛性判定必须分析迭代矩阵的谱半径是否小于1。对于某些特定的矩阵，可以直接使用已经过证明的结论。9、对下面的线性方程组进行调整,使得用Guass-Seidel迭代法求解时收敛，若其Jacobi迭代也收敛，哪种方法收敛速度快。（分析思路及matlab语句）并求出解向量x。787119901081321xxx答：根据Jacobi迭代和Guass-Seidel迭代求解严格对角占优矩阵时均收敛的论断，可将上述方程组改写为以下形式：877901081119321xxx,该方程的Guass-Seidel迭代矩阵为：ULDG1)(使用matalb语句D=diag(diag(A));G=-inv(tril(A))*(triu(A)-D);pG=max(abs(eig(G)))可得0262.0)(G该方程的Jacobi迭代形式为：ADIB1使用matalb语句D=diag(diag(A));B=eye(length(A))-inv(D)*A;pB=max(abs(eig(B)))可得162.0)(B)()(BG，所以Guass-Seidel迭代收敛速度更快。A=[9-1-1;-180;-109];b=[778]';[x,k]=Gaussseidel3(A,b)x=1.00001.00001.0000k=5所以解向量x=(1,1,1)T.若用Jacobi迭代，迭代次数为8，符合分析。第4章矩阵特征值与特征向量的数值解法1、已知方阵A的按模最大的特征值为10，则A的逆矩阵按模最小特征值是0.1。分析：反幂法的推导使用的矩阵和逆矩阵特征值关系的特点，教材p124。2、下面不属于Jacobi旋转法的特点的是(A)A.可求矩阵的所有特征值和特征向量；B.通过Givens变换对所求矩阵实施正交相似变换；C.变换矩阵相乘得到矩阵的各列为对应的特征向量；D.对于实对称矩阵，Jacobi旋转法必然收敛于对角矩阵分析：Jacobi旋转法针对的是实对称矩阵，构造一系列正交矩阵对矩阵A实施正交相似变换，必然可求得所有的特征值和特征向量，即除对角线元素外，其他元素收敛于零。3、下面