数列(高三数学第二轮复习专题讲座)

数学复习专题讲座之数列一、知识梳理数列概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列na的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(nfan.3.递推公式：如果已知数列na的第一项（或前几项），且任何一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1nnafa或),(21nnnaafa，那么这个式子叫做数列na的递推公式.如数列na中，12,11nnaaa，其中12nnaa是数列na的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①nnaaaS21；②)2()1(11nSSnSannn.5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何Nn,均有nnaa1.②递减数列:对于任何Nn,均有nnaa1.③摆动数列:例如:.,1,1,1,1,1④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M使NnMan,.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项na使得Man.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差.2.通项公式与前n项和公式⑴通项公式dnaan)1(1，1a为首项，d为公差.⑵前n项和公式2)(1nnaanS或dnnnaSn)1(211.3.等差中项如果bAa,,成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即：A是a与b的等差中项baA2a，A，b成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：daann1（Nn，d是常数）na是等差数列；⑵中项法：212nnnaaa(Nn)na是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列na是等差数列，则数列pan、npa（p是常数）都是等差数列；⑵在等差数列na中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即,,,,32knknknnaaaa为等差数列，公差为kd.⑶dmnaamn)(；banan(a,b是常数)；bnanSn2(a,b是常数，0a)⑷若),,,(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；⑸若等差数列na的前n项和nS，则nSn是等差数列；⑹当项数为)(2Nnn，则nnaaSSndSS1,奇偶奇偶；当项数为)(12Nnn，则nnSSaSSn1,奇偶偶奇.等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(qq，这个数列叫做等比数列，常数q称为等比数列的公比.2.通项公式与前n项和公式⑴通项公式：11nnqaa，1a为首项，q为公比.⑵前n项和公式：①当1q时，1naSn②当1q时，qqaaqqaSnnn11)1(11.3.等比中项如果bGa,,成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等差中项a，A，b成等差数列baG2.4.等比数列的判定方法⑴定义法：qaann1（Nn，0q是常数）na是等比数列；⑵中项法：221nnnaaa(Nn)且0nana是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列na是等比数列，则数列npa、npa（0q是常数）都是等比数列；⑵在等比数列na中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,,,,32knknknnaaaa为等比数列，公比为kq.⑶),(Nmnqaamnmn⑷若),,,(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；⑸若等比数列na的前n项和nS，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是等比数列.二、典型例题A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知nS为等差数列na的前n项和，63,6,994nSaa，求n；2、等差数列na中，410a且3610aaa，，成等比数列，求数列na前20项的和20S．3、设na是公比为正数的等比数列，若16,151aa，求数列na前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知nS为等差数列na的前n项和，1006a，则11S；2、设nS、nT分别是等差数列na、na的前n项和，327nnTSnn，则55ba.3、设nS是等差数列na的前n项和，若5935,95SSaa则（）4、等差数列{}na,{}nb的前n项和分别为nS,nT,若231nnSnTn,则nnab=（）5、已知nS为等差数列na的前n项和，)(,mnnSmSmn，则nmS.6、在正项等比数列na中，153537225aaaaaa，则35aa_______。7、已知数列na是等差数列，若471017aaa,45612131477aaaaaa且13ka,则k_________。8、已知nS为等比数列na前n项和，54nS，602nS，则nS3.9、在等差数列na中，若4,184SS，则20191817aaaa的值为（）10、在等比数列中，已知910(0)aaaa，1920aab，则99100aa.11、已知na为等差数列，20,86015aa，则75a12、等差数列na中，已知848161,.3SSSS求B、求数列通项公式1）给出前几项，求通项公式1,0,1,0,……,,21,15,10,6,3,13，-33,333，-3333,33333……2）给出前n项和求通项公式1、⑴nnSn322；⑵13nnS.2、设数列na满足2*12333()3nnaaaanNn-1…+3，求数列na的通项公式3）给出递推公式求通项公式a、⑴已知关系式)(1nfaann，可利用累加法或迭代法；11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn例：已知数列na中，)2(12,211nnaaann，求数列na的通项公式；b、已知关系式)(1nfaann，可利用累乘法.1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn例、已知数列na满足：111(2),21nnannaan，求求数列na的通项公式；c、构造新数列1°递推关系形如“qpaann1”，利用待定系数法求解例、已知数列na中，32,111nnaaa，求数列na的通项公式.2°递推关系形如“，两边同除1np或待定系数法求解例、nnnaaa32,111，求数列na的通项公式.3°递推已知数列na中，关系形如“nnnaqapa12”，利用待定系数法求解例、已知数列na中，nnnaaaaa23,2,11221，求数列na的通项公式.4°递推关系形如11nnnnapaqaa（p,q0),两边同除以1nnaa例1、已知数列na中，1122nnnnaaaa1（n2),a，求数列na的通项公式.例2、数列na中，)(42,211Nnaaaannn，求数列na的通项公式.d、给出关于nS和ma的关系例1、设数列na的前n项和为nS，已知)(3,11NnSaaannn，设nnnSb3，求数列nb的通项公式．例2、设nS是数列na的前n项和，11a，)2(212nSaSnnn.⑴求na的通项；⑵设12nSbnn，求数列nb的前n项和nT.C、证明数列是等差或等比数列1)证明数列等差例1、已知nS为等差数列na的前n项和，)(NnnSbnn.求证：数列nb是等差数列.例2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=21.求证：{nS1}是等差数列；2）证明数列等比例1、设{an}是等差数列，bn＝na21，求证：数列{bn}是等比数列；例2、数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；例3、已知nS为数列na的前n项和，11a，24nnaS.⑴设数列nb中，nnnaab21，求证：nb是等比数列；⑵设数列nc中，nnnac2，求证：nc是等差数列；⑶求数列na的通项公式及前n项和.例4、设nS为数列na的前n项和，已知21nnnbabS⑴证明：当2b时，12nnan是等比数列；⑵求na的通项公式例5、已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN⑴证明：数列1nnaa是等比数列；⑵求数列na的通项公式；⑶若数列nb满足12111*44...4(1)(),nnbbbbnanN证明nb是等差数列.D、求数列的前n项和基本方法：1）公式法，2）分组求和法.例1、求数列n{223}n的前n项和nS.例2、求数列，，，，，)21(813412211nn的前n项和nS.例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3）2）裂项相消法，数列的常见拆项有：1111()()nnkknnk；nnnn111；例1、求和：S=1+n32113211211例2、求和：nn11341231121.3）倒序相加法，例、设221)(xxxf，求：⑴)4()3()2()()()(213141ffffff；⑵).2010()2009()2()()()()(21312009120101fffffff4）错位相减法，例、若数列na的通项nnna3)12(，求此数列的前n项和nS.5）对于数列等差和等比混合数列分组求和例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.E、数列单调性最值问题例1、数列na中，492nan，当数列na的前n项和nS取得最小值时，n.例2、已知nS为等差数列na的前n项和，.16,2541aa当n为何值时，nS取得最大值；例3、数列na中，12832nnan，求na取最小值时n的值.例4、数列na中，22nnan，求数列na的最大项和最小项.例5、设数列na的前n项和为nS．已知1aa，13nnnaS，*nN．（Ⅰ）设3nnnbS，求数列nb的通项公式；（Ⅱ）若1nnaa≥，*nN，求a的取值范围．例6、已知nS为数列na的前n项和，31a，)2(21naSSnnn.⑴求数列na的通项公式；⑵数列na中是否存在正整数k，使得不等式1kkaa对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由.例7、非等比数列{}na中，前n项和21(1)4nnSa，（1）求数列{}na的通项公式；（2）设1(3)nnbna(*)nN，12nnTbbb，是否存在最大的整数m，使得对任意的n均有32nmT总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。F、有关数列的实际问题例1、用砖砌墙,第