数列在分期付款中的应用

1数列在分期付款中的应用贵溪一中：缪幸教学目标：（一）教学知识点：1.理解分期付款中的有关知识2.掌握运用等比数列的知识解决分期付款中的有关问题（二）能力训练要求：培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力（三）德育渗透目标使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物,建立科学的世界观;（四）情感目标通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志,也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感.教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究教学难点：独立解决方案授课类型：新授课教学方法:学生自主探索，教师启发引导教学手段:多媒体辅助教学教学过程：Ⅰ.引入问题：现今，人们生活水平提高了，消费观念也发生了改变，贷款购物、分期付款已深入到我们的生活，不再陌生。分期付款方式在今天的商业活动中应用日益广泛，你可以贷款买房，买车；助学贷款，旅游贷款，甚至我们还可以贷款买电视，电脑，MP3，MP4…等等。你知道什么叫分期付款吗？你的身边有分期付款的例子吗？哪位同学来个例子……生：贷款买电脑、贷款买房子、……师：贷款买电脑有人采用分期付款，贷款买房子叫按揭，也是分期付款的例子。可见，花明天的钱圆今天的梦，这种想法已经得到认可。俗话说：有贷有还，再贷不难，贷款不还，法院就会找你麻烦；借了钱，就要准备还，如何借，怎么还呢？平常这些问题是你们父母去考虑，今天这节课我们一起来帮你父母考虑。2老师从银行了解到有关分期付款的规定：1．在分期付款中，每月的利息均按复利计算；（月利率是0.4575％）2．分期付款中规定每期所付款额相同；这些规定简单记为月均等额还本付息；3．在分期付款中，一般一个月为一期。4.分期付款时，每一期所还的款相当于存在银行里，所以每期还给银行的款额如同本金也会随着时间推移而不断增值；5.从贷款之日起，到最后一期还款付清时，贷款总额本息与每期所还款本息和是相等的。我们先理解一下这些规定：（1）什么叫利息？向银行贷款20万元，一个月后就还给银行20万元，银行乐意吗？当然还的钱比20万要多，这里的20万元叫本金，多出来的部分，就叫利息，如果月利率按0.4575％计算，一个月后利息是多少？（2）什么叫复利？复利是个和单利相对应的经济概念，单利的计算不用把利息计入本金计算；而复利恰恰相反，它的利息要并入本金中重复计息。比如你现在往银行存入100元钱，年利率是10%，那么一年后无论您用单利还是复利计算利息，本息合计是一样的，全是110元；但到了第二年差别就出来了，如果用单利计算利息，第二年的计息基础仍是100元，利息也仍是10元，本息合计就是120元。可复利就不一样了，第二年的计息基础是110元（注意！），一年下来利息就变成了11元，本息合计就成了121元，已比单利计算的多了1元钱，如果本金数字较大，年限较长，差距之大可想而知。厉害吧！师：它的计算公式是本金×（1+年利率）n，其中n等于你的计息期数。我们知道在分期付款中，规定每月的利息均按复利计算；我想请同学们算一算，向银行贷款20万元，两个月后，本金和利息的总和是多少？我们将一个月称为一期，3期后，本金和利息的总和是多少？20期呢？可见贷款总额会随着时间的推移而不断增值；请以本金为a元,月利率为0.4575％,说明复利计算的含义。3Ⅱ.讨论课题提出问题请同学们根据课题背景，与同桌讨论后，提出一个实际问题：_____________准备购买_____________，向银行贷款______________元，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息（即利息按月以复利计算，每期付款数额相同，一个月为一期，购买后一个月付款一次，以后每月付款一次），共付__________期，月利率为__________________，我提出的问题是：________________________________________；Ⅲ.构造模型解决课题我们选择一个问题，请同学们思考解决的办法：小明同学准备购买笔记本电脑，向银行贷款1万元，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息（即利息按月以复利计算，每期付款数额相同，一个月为一期，购买后一个月付款一次，以后每月付款一次），共付24期，月利率为0.4575％，我设计的问题是：小明每月应还多少钱？分析一：本例可通过逐月计算欠款来处理，根据题意，第24个月的欠款数为零，据此可得等量关系。解法一：设每月还款x元，购买1个月后的欠款数为：10000×(1＋0.4575%)－x购买2个月后的欠款数为：[10000×(1＋0.4575%)－x]×(1＋0.4575%)－x即：xx004575.1004575.1100002购买3个月后的欠款数为：xxx004575.1)004575.1004575.110000(2即：xxx004575.1004575.1004575.11000023……购买24个月后的欠款数为：xxxx004575.1....004575.1004575.1004575.110000222324由题意：0004575.1....004575.1004575.1004575.110000222324xxxx即：2423222004575.110000004575.1004575.1...004575.1004575.1xxxxx观察一下，上述等式有什么特点？可以发现，上述等式是一个关于x的一次方程，且等号左边是一个首项为x，公比为1.004575的等比数列的前24项的和。42424004575.110000004575.11)004575.11(1x91.440x思考：还有其它的处理方法吗？对等式2423222004575.110000004575.1004575.1...004575.1004575.1xxxxx进行思考？这个等式说明了：分期付款，各次（期）所付的款以及各次（期）所付款到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品的售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。实际上这是分期付款中的规定，从上面的过程中我们可看出这种规定是合理可行的。于是我们有了解法2，利用分期付款的有关规定直接列出方程。分析二：每期所还款在接下来的月份中都会产生利息。这部分的本利和与贷款所产生的本利和相等。解法二：设每月应付款x元.各月所付款额到贷款付清时也会产生利息（同样按月以复利计算）。各月所付款额与它的利息之和是多少呢？各月所付款与它的利息之和1个月后还x元1.00457523x元2个月后还x元1.00457522x元3个月后还x元1.00457521x元…………23个月后还x元1.004575x元24个月后还x元x元最后根据到期偿还还贷款的含义，即各月所付款额连同到贷款付清时所生利息之和，等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和，计算每月应付款额。也就是说，2423222004575.110000004575.1004575.1...004575.1004575.1xxxxx即2424232004575.110000)004575.1004575.1004575.1004575.11(x2424004575.110000004575.11)004575.11(1x91.440x说明：解法1通过逐月计算欠款来处理，由第24个月后的欠款为零可得等量5关系，这种解法思路自然，容易想到，但过程较长。解法2从最后一次付款（即款全部付清时）的角度上来看问题，即按分期付款中的规定直接列出等式，过程较简洁。Ⅳ.探究规律延伸拓展一般地，采用分期付款方式贷款a元，分m个月等额还清，贷款月利率为r，每月付款x元，则x=.1)1()1(mmrrarx变式：采用月均等额还本付息付款方式，售价a元，首付%b，m个月内分n次将款全部付清，月利率为r，那么每月付款款额得计算公式是什么？1)1(]1)1[()1%)(1(mnmmrrrbaxⅤ.课时小结：我们对教材中提出的分期付款进行了一般性的探究，明白了分期付款是怎么一回事，弄清了复利计算的含义，理解了售价及每期付款的增值规律，掌握了利用等比数列解决分期付款中求每期付款额的计算方法，等等。分期付款这种运作方式在今天商业活动中，应用日益广泛；关于分期付款及其相关的知识，涉及的行业部门有银行、保险、按揭购房、基金，涉及到社会的方方面面。如果你是记者，你可能有你的触觉和视线，如果你是商家，你可能需要考虑一次性付款与分期付款的利益，如果你在银行工作，你可能需要了解分期付款的政策，如果你是学生，当然你现在就是学生，那么你以后就可能成为上述的人员，你会关注什么问题呢？您还可以找一些问题进行探究，并将您的成果写成研究报告或小论文。