数列复习学案

1期末复习-----数列一、基础知识回顾：（一）数列的基本概念1、数列的定义：按一定______排列的一列数叫做数列.2、数列的项：数列中的每一个____都叫做这个数列的项.项对应的位置数叫项数。3、数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的______()nafn，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。4、数列的表示：⑴列表法：,,,,,321naaaa，或简记为na⑵解析法：数列的通项公式：如果数列na的第n项na与n之间的关系可以用一个___来表示，这个公式就叫做这个数列的_____公式.⑶图象法：数列的图象是一群孤立的______5、数列的分类：1）按数列项数分：有穷数列：项数___的数列叫有穷数列，无穷数列：项数___的数列叫无穷数列2）按数列单调性分：递增数列：从第2项起，_________递减数列：从第2项起,________常数数列：________摆动数列：从第2项起，有些项_____它的前一项，有些项_____它的前一项的数列.（二）等差数列1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个常数d叫做等差数列的，2、等差中项：若三个数bAa,,组成等差数列，那么A叫做a与b的，即A2或A。3、等差数列的单调性：等差数列的公差时，数列为递增数列；时，数列为递减数列；时，数列为常数列；4、等差数列的通项公式：5、等差数列的性质：26、等差数列na的前n项和公式nS注：（1）、在通项公式na与前n项和ns公式中，涉及五个量：的关系，已知其中的三个量，可求其余两个量。（体现数学中方程的思想）（2）、等差数列前n项和公式的特点是ns为关于n的二次式，且无常数项。即：)0(2abnansn（3）、等差数列前n项和的最值问题⑴、利用na当0,01da时，ns有最大值，可由0na，求得n的值。当0,01da时，ns有最小值，可由0na，求得n的值。⑵、利用ns由)(,2)1(*1Nndnnnasn，利用二次函数配方法，求得ns取最值时n的值。（三）等比数列1.等比数列定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比值等于同一个，那么这个数列就叫等比数列，这个常数q叫做等比数列的。2.等比数列的通项公式:3．｛na｝成等比数列4.等比中项:5.等比数列的性质6.判断等比数列的方法38.等比数列的增减性9.等比数列前n项和公式；注：五个基本量nn1Sqnaa，，，，知三求二（四）数列求和1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆公式法：（1）等差数列的前n项和公式：Sn=dnnna2)1(1Sn=2)(1naanSn=dnnnan2)1(当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1(是关于n的正比例式)；当q≠1时，Sn=qqan1)1(1Sn=qqaan11注意：在计算等比数列的前n项和nS时分两种情况q=1和q≠1进行讨论,即:11(1)(1)1)1nnnaqSaqqq2拆项法（分组求和）求数列的和，如an=2n+3n3错位相减法求和，如an=(2n-1)2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）4裂项法求和，如an=1/n(n+1)111nn（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）5倒序相加法求和（五）数列求通项1、定义法构造等差或等比数列2、叠加/乘法形如)(1nfaann型常用“叠加法”，4即由递推关系可得系列等式：111)(ninifaa，所以有将以上1n个等式相加得：111)(ninifaa即为所求。形如)(1nfaann型常用“叠乘法”，即由递推关系可得系列等式)1(,),2(),1(12312nfaafaafaann，将以上1n个式子相乘得，111ninaa)(if，于是111ninaa)(if。（注表示相乘）3、形如：1nnapaq（为p,q为常数且1p）的数列待定系数法：可化为1()11nnqqapapp，利用等比数列求出1nqap的表达式，进而求出na4、形如：1nnnapaq的数列（pq、为常数且0q）解法：可化为111nnnnaapqqqq，利用类型三求出nnaq后解出na；5、利用)2()1(11nSSnSannn求na6周期型:解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。二：典例分析：题型一：等差等比数列的“知三求二”例1.(1)在等差数列{}na中，71,83da，求na和nS;（2）已知等比数列}na中，,29,2333Sa求na的通项公式)1()2()1(12312nfaafaafaann5变式训练：（1）已知等比数列}na中，,29,2333Sa求na的通项公式(2)等差数列{}na中，4a=14，前10项和18510S．求na；题型二：:等差数列的前n项和的最值例2：在等差数列{}na中，前n项和为nS，且1510SS121a，求n取何值时，nS最大，并求出它的最大值。变式练习：在等差数列{}na中，前n项和为nS，其中1291,0SSa，则该数列前多少项和最小？题型三：求na的前n项和，（其中na是等差数列）例3：在等差数列na中，369181716aaaa，其前n项和为nS（1）求nS的最小值，并求取得最小值时的n（2）求nnaaaT、、、216变式训练：数列{na}中，2,841aa，且满足0212nnnaaa（1）求数列{na}的通项公式（2）设nnnSaaaaS，求....321题型4：数列求和：例4：已知数列{na}的前n项和是322nnSn，求数列的通项公式及其前五项变式训练1已知数列{na}的前n项和为110nnS，求数列的通项公式例5：已知数列na，对任意nN，都有2312231111.......2222nnaaaan，求数列na的前n项和nS。7例6：在等差数列{na}中，26,7753aaa（1）求nnSa,（2）令112nnab，求数列{nb}的前n项和题型五：数列的综合应用：例7：数列{na}中，1,2411aaSnn（1）设nnnaab21，求证}{nb成等比数列（2）设nnnac2，求证{nc}成等差数列（3）求{na}的前n项和三：巩固练习：一．选择题：1.已知等差数列na中，1668aa，14a，则10a（）8A.15B.30C.36D.642.等差数列na中,若1201210864aaaaa，则11931aa的值为（）A.14B.15C.16D.173.首项1a，公差d，前n项和nS，当1a和d变化时，27a+13a为定值，则下列为定值的是（）A.19SB.17SC.9SD11S4.已知等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A.2B.3C.4D.55、在各项均为正数的等比数列}{na中，若2765aa，则1032313logloglogaaa等于（）A．12B．10C．15D．5log2736、设等比数列}{na的前n项和为nS，若2:1:510SS，则515:SS（）A．4:3B．3:2C．2:1D．3:17、等比数列}{na的前n项积为nT，若1863aaa是一个确定的常数，则数列25171310,,,TTTT中也是常数的项是（）A．10TB．13TC．17TD．25T二．填空题：1.等差数列{}na中，1030a，2050a，则通项na；2.数列{}na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前n项和152nS，则1a＝＿，n＝＿93.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______4.等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。5.设{na}与{nb}是两个等差数列，它们的前n项和分别为nS和nT，若3413nnTSnn，那么nnba___________6.等差数列{}na中，125a，917SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大值7.若{}na是等差数列，首项10,a200320040aa，200320040aa，则使前n项和0nS成立的最大正整数n是8.在等比数列{}na中，3847124,512aaaa，公比q是整数，则10a=___9.数列{}na若为等差数列，140,1330101030SSSS，则20S的值为______10.已知等比数列}{na中，214,2333Sa，则1a_________11.已知数列}{na是公差不为0的等差数列，11a，若521,,aaa成等比数列，则na______12在等比数列}{na中，已知21,18,367463naaaaa，则n______13.凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为120，公差为5，则边数n=_________1014已知等差数列na的前n项和为nS，若OCaOAaOB2001，且CBA,,三点共线（直线不过O点），则200S=______________三．解答题：1.已知数列{an}中，a1=53，an=2-11na(n≥2,n∈N+),数列{bn}满足bn=11na(n∈N+).(1)求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.2.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg2=0.3，最后结果精确到整数）.113.设数列{an}的前n项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3（n∈N+），其中m为常数，且m≠-3,m≠0.（1）求证：{an}是等比数列；（2）若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn=23f(bn-1)(n∈N,n≥2),求证：nb1为等差数列，并求bn.4.设数列{an}的前n项和Sn=2an-2n.（1）求a3，a4；（2）证明：{an+1-2an}是等比数列；（3）求{an}的通项公式.125、已知Sn是数列{an}的前n项和，且an=Sn-1+2（n≥2），a1=2.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=na2log1,Tn=bn+1+bn+2+…+b2n,是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n,有Tn＞12k恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,nan+1=(n+2)Sn(n∈N+).(1)求证：数列nSn为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（3）若数列