数列排列组合二项式定理概率统计知识点总结

数列及排列组合二项式定理知识点总结1.等比数列的定义与性质定义：（为常数，），aaqqqaaqnnnn1110等比中项：、、成等比数列，或xGyGxyGxy2前项和：（要注意）nSnaqaqqqnn111111()()!性质：是等比数列an（）若，则··1mnpqaaaamnpq（），，……仍为等比数列2232SSSSSnnnnn（3）（时，，时，）naSnaSSnnn121112.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（1）求差（商）法如：满足……aaaannnn121212251122解：naa1122151411时，，∴naaannn2121212215212211时，……12122得：nna∴ann21∴annnn141221()()［练习］数列满足，，求aSSaaannnnn111534（注意到代入得：aSSSSnnnnn1114又，∴是等比数列，SSSnnn144naSSnnnn23411时，……·（2）叠乘法例如：数列中，，，求aaaannannnn1131解：aaaaaannaannnn213211122311·……·……，∴又，∴aann133（3）等差型递推公式由，，求，用迭加法aafnaaannn110()naafaafaafnnn22321321时，…………两边相加，得：()()()aafffnn123()()()……∴……aafffnn023()()()［练习］数列，，，求aaaanannnnn111132（）ann1231（4）等比型递推公式acadcdccdnn1010、为常数，，，可转化为等比数列，设axcaxnn1acacxnn11令，∴()cxdxdc11∴是首项为，为公比的等比数列adcadccn111∴·adcadccnn1111∴aadccdcnn1111［练习］数列满足，，求aaaaannnn11934（）ann84311（5）倒数法例如：，，求aaaaannnn11122由已知得：1221211aaaannnn∴11121aann111121aan为等差数列，，公差为11112121annn·∴ann213.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：是公差为的等差数列，求adaankkkn111解：由·11111011aaaaddaadkkkkkk∴11111111aadaakkknkkkn11111111111223111daaaaaadaannn……［练习］求和：…………111211231123n（…………，）aSnnn211（2）错位相减法：若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项ababnnnnn和，可由求，其中为的公比。SqSSqbnnnn如：……Sxxxnxnn12341231xSxxxxnxnxnnn·……234122341121121：……xSxxxnxnnnxSxxnxxnnn11112时，xSnnnn112312时，……（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。SaaaaSaaaannnnnn121121…………相加21211Saaaaaannnn…………［练习］已知，则fxxxfffffff()()()()()2211212313414（由fxfxxxxxxxx()1111111112222222∴原式fffffff()()()()121231341412111312）4.你知道储蓄、贷款问题吗？△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：Sprprpnrpnnnrn112112…………等差问题△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足prxrxrxrxnnn()111112……xrrxrrnn111111∴xprrrnn111p——贷款数，r——利率，n——还款期数5.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。（）分类计数原理：……112Nmmmn（为各类办法中的方法数）mi分步计数原理：·……Nmmmn12（为各步骤中的方法数）mi（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有排列的个数记为nmAnm.Annnnmnnmmnnm121……!!规定：0!1（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个组合，所有组合个数记为mCnm.CAAnnnmmnmnmnmnmmm11……!!!!规定：Cn01（）组合数性质：4CCCCCCCCnmnnmnmnmnmnnnnn，，……110126.解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩xixxxxi899091929312341234，，，，，，，，且满足，()则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）A.24B.15C.12D.10解析：可分成两类：（）中间两个分数不相等，1有（种）C545（2）中间两个分数相等xxxx1234相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。∴共有5＋10＝15（种）情况7.二项式定理()abCaCabCabCabCbnnnnnnnnrnrrnnn011222……二项展开式的通项公式：，……TCabrnrnrnrr101()Cnr为二项式系数（区别于该项的系数）性质：（）对称性：，，，……，1012CCrnnrnnr（）系数和：…2CCCnnnnn012CCCCCCnnnnnnn13502412……（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第nCnnnn2112项，二项式系数为；为奇数时，为偶数，中间两项的二项式()系数最大即第项及第项，其二项式系数为nnCCnnnn121211212如：在二项式的展开式中，系数最小的项系数为（用数字x111表示）（∵＝n11∴共有项，中间两项系数的绝对值最大，且为第或第项1212267由，∴取即第项系数为负值为最小：Cxrrrr1111156()CC116115426又如：……，则122004012220042004xaaxaxaxxRaaaaaaaa01020302004……（用数字作答）（令，得：xa010令，得：……xaaa11022004∴原式……）200320031120040012004aaaa8.你对随机事件之间的关系熟悉吗？（）必然事件，，不可能事件，110PP)()（）包含关系：，“发生必导致发生”称包含。2ABABBAAB（）事件的和（并）：或“与至少有一个发生”叫做与3ABABABAB的和（并）。（）事件的积（交）：·或“与同时发生”叫做与的积。4ABABABAB（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。AB·（6）对立事件（互逆事件）：“不发生”叫做发生的对立（逆）事件，AAAAAAA，（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。ABABABAB与独立，与，与，与也相互独立。9.对某一事件概率的求法：分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即PAAmn()包含的等可能结果一次试验的等可能结果的总数（）若、互斥，则2ABPABPAPB()()（）若、相互独立，则··3ABPABPAPB（）41PAPA()()（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生k次的概率：PkCppnnkknk()1如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。（1）从中任取2件都是次品；PCC142102215（2）从中任取5件恰有2件次品；PCCC242631051021（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”∴·mC32213464∴··PC3322334641044125（4）从中依次取5件恰有2件次品。解析：∵一件一件抽取（有顺序）∴，nAmCAA105425263∴PCAAA44252631051021分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。10.抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。11.对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。要熟悉样本频率直方图的作法：（）算数据极差；1xxmaxmin（2）决定组距和组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图。其中，频率小长方形的面积组距×频率组距样本平均值：……xnxxxn112样本方差：……Snxxxxxxn2122221如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。（）CCC10452156