数列极限存在的条件(经典课件)

§３数列极限存在的条件教学内容：单调有界定理，柯西收敛准则。教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。教学难点：相关定理的应用。教学方法：讲练结合。教学学时：2学时。引言在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。本节将重点讨论极限的存在性问题。为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。本节就来介绍两个判断数列收敛的方法。一、单调数列：定义若数列na的各项满足不等式11()nnnaaaa，则称na为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列．例如：1n为递减数列；2n为递增数列；(1)nn不是单调数列。二、单调有界定理：考虑：单调数列一定收敛吗？有界数列一定收敛吗？以上两个问题答案都是否定的，如果数列对以上两个条件都满足呢？答案就成为肯定的了，即有如下定理：定理2.9（单调有界定理）在实数系中，有界且单调数列必有极限。证明：不妨设na单调递增有上界，由确界原理na有上确界naasup，下面证明aannlim.0，一方面，由上确界定义nNaa，使得Naa，又由na的递增性得，当Nn时nNaaa；另一方面，由于a是na的一个上界，故对一切na，都有aaan；所以当Nn时有aaan，即aan，这就证得aannlim。同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且为它的下确界。例１设1111,1,2,23nann其中2，证明数列na收敛。证明：显然数列na是单调递增的，以下证明它有上界.事实上，222131211nannnnn11131212111)1(13212111,2,1212nn，于是由单调有界定理便知数列na收敛。例２证明下列数列收敛，并求其极限：2,22,,222,n个根号解：记222na，易见数列na是单调递增的，现用数学归纳法证明na有上界2.显然221a，假设2na，则有22221nnaa，从而数列na有上界2.于是由单调有界定理便知数列na收敛。以下再求其极限，设aannlim，对等式nnaa221两边同时取极限得aa22，解之得2a或1a（舍去，由数列极限保不等式性知此数列极限非负），从而2222limn.例３证明1lim(1)nnn存在。分析：此数列各项变化趋势如下nnnna)11(nnnna)11(121a652.2)67(66a225.2)23(22a……337.2)34(33a1059.2)1011(1010a444.2)45(44a……549.2)56(55a10070.2)100101(100100a我们有理由猜测这个数列单调递增且有上界，下面证明这个猜测是正确的。证明：先建立一个不等式，设0ab，Nn，则由)()1())((122111abbnabaababbababnnnnnnnn得到不等式nbanbann)1(1（＊）以annb11111代入（＊）式，由于1)11()111)(1()1(nnnnnban于是nnnn111111由此可知数列nn11为递增数列；再以anb1211代入（＊）式，同样由于21)211()1()1(nnnnban，于是42112121112nnnn由此可知数列nn11为有界数列；综上由单调有界定理便知1lim(1)nnn存在。注：数列nn11是收敛的，但它的极限目前没有办法求出，实际上它的极限是e（无理数），即有1lim(1)nnn＝e，这是非常有用的结论，我们必须熟记，以后可以直接应用。例4求以下数列极限：（1）nnn)11(lim；（2）nnn)211(lim；（3）nnn2)11(lim.解:(1)ennnnnn111lim)11(lim1；(2)ennnnnn212211lim)211(lim(3)22211lim)11(limennnnnn.三、柯西收敛准则：１．引言：单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件——柯西收敛准则。２．Cauchy收敛准则：定理2.10（Cauchy收敛准则）数列na收敛的充分必要条件是：对任给的0，存在正整数Ｎ，使得当,nmN时有||nmaa；或对任给的0，存在正整数Ｎ，使得当Nn，及任一Np，有npnaa。３．说明：(1)Cauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。(2)Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数。或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。(3)Cauchy准则把N定义中na与a的之差换成na与ma之差。其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。(4)数列na发散的充分必要条件是：存在00，对任意的NN，都可以找到Nmn,，使得0mnaa；存在00，对任意的NN，都可以找到Nn，及Np，使得0npnaa.例5设nna1011011012，证明数列na收敛。证明：不妨设mn，则maammnmmnmnmmmn11011011109110111011101101101101121对任给的0，存在1N，对一切Nmn有||nmaa，由柯西收敛准则知数列na收敛。例6设nan1211，证明数列na发散。证明：210，对任意的NN，任取Nn，及np，则有02121)(212121212111nnnnnnnnnaanpn项共由柯西收敛准则知数列na发散。