数列的求和,涵盖所有高中数列求和的方法。

根据常见的几种不同的递推公式求数列的通项公式(1)已知满足{an}满足an＋1=3nan，且a1=1，求an(2)数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，求an(3)数列{an}满足an＋1=2an＋3，a1=1,求an(4)数列{an}满足an＋1=2an＋3n+1，a1=1,求an(5)数列{an}满足a1=1,a2=35,an+2=35an+1－32an(n=1,2,---)，求an(6)数列{an}满足a1=1,an=an－1－32anan－1(n=2,3，---)，求an答：(1)迭乘法n(n)na123(2)迭加法nann21(3)待定系数法123nna（4）同除指数2123nnna（5）待定系数法233()3nna（5）同除乘积，倒数成等差321nan数列的求和一、教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3．熟记一些常用的数列的和的公式．二、教学重点：特殊数列求和的方法．三、教学过程：（一）主要知识：1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11（2）等比数列的求和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn（切记：公比含字母时一定要讨论）2．公式法：222221(1)(21)1236nknnnkn2333331(1)1232nknnkn3．错位相减法：比如.,,2211的和求等比等差nnnnbabababa4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：111)1(1nnnn；1111()(2)22nnnn)121121(21)12)(12(1nnnn!)!1(!nnnn5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6．合并求和法：如求22222212979899100的和。7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；3．转化思想的运用；（三）例题分析：例1．求和：①个nnS111111111②22222)1()1()1(nnnxxxxxxS思路分析：通过分组，直接用公式求和。解：①)110(9110101011112kkkka个])101010[(91)]110()110()110[(9122nSnnn8110910]9)110(10[911nnnn②)21()21()21(224422nnnxxxxxxSnxxxxxxnn2)111()(242242（1）当1x时，nxxxxnxxxxxxSnnnnnn2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222（2）当nSxn4,1时总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比11qq或讨论。2．错位相减法求和例2．已知数列)0()12(,,5,3,112aanaan，求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列120,,,,naaaa对应项积，可用错位相减法求和。解：1)12(53112nnanaaS2)12(5332nnanaaaaSnnnanaaaaSa)12(22221)1(:21132当nnnnaaaSaa)12()1()1(21)1(,121时21)1()12()12(1aananaSnnn当2,1nSan时3.裂项相消法求和例3.求和)12)(12()2(534312222nnnSn思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解:)121121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22kkkkkkkkkkak12)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121nnnnnnnnaaaSnn练习:求nnanaaaS32321答案:)1()1()1()1()1(2)1(2aaaanaaannSnnn4.倒序相加法求和例4求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210思路分析：由mnnmnCC可用倒序相加法求和。证：令)1()12(53210nnnnnnCnCCCS则)2(35)12()12(0121nnnnnnnnCCCCnCnSmnnmnCCnnnnnnCnCnCnCnS)22()22()22()22(2:)2()1(210有nnnnnnnnCCCCnS2)1(])[1(210等式成立5．其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例5．已知数列nnnnSnaa求],)1([2,。思路分析：nnna)1(22，通过分组，对n分奇偶讨论求和。解：nnna)1(22，若mkkmnmSSmn212)1(2)2321(2,2则)1(2)12()2321(2nnmmmSn若)12(22)12(])1(2[22)12(,1222212mmmmmmaSSSmnmmmmn则22)1()1(224222nnnnmm)(2)()1(2为正奇数为正偶数nnnnnnSn预备：已知nnnaaaaxaxaxaxf,,,,)(321221且成等差数列，n为正偶数，又nfnf)1(,)1(2，试比较)21(f与3的大小。解：naaaaafnaaaafnnn13212321)1()1(2222)(121dnaandnnnaann12122)1(111naadndnaannnnfxnxxxxf)21)(12()21(5)21(321)21()12(53)(3232可求得nnnf)21)(12()21(3)21(2，∵n为正偶数，3)21(f（四）巩固练习：1．求下列数列的前n项和nS：（1）5，55，555，5555，…，5(101)9n，…；（2）1111,,,,,132435(2)nn；（3）11nann；（4）23,2,3,,,naaana；（5）13,24,35,,(2),nn；（6）2222sin1sin2sin3sin89．解：（1）555555555nnS个5(999999999)9n个235[(101)(101)(101)(101)]9n235505[10101010](101)9819nnnn．（2）∵1111()(2)22nnnn，∴11111111[(1)()()()]2324352nSnn1111(1)2212nn．（3）∵1111(1)(1)nnnannnnnnnn∴11121321nSnn(21)(32)(1)nn11n．（4）2323nnSaaana，当1a时，123nS…(1)2nnn，当1a时，2323nSaaa…nna，23423naSaaa…1nna，两式相减得23(1)naSaaa…11(1)1nnnnaaananaa，∴212(1)(1)nnnnanaaSa．（5）∵2(2)2nnnn，∴原式222(123…2)2(123n…)n(1)(27)6nnn．（6）设2222sin1sin2sin3sin89S，又∵2222sin89sin88sin87sin1S，∴289S，892S．2．已知数列{}na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS．解：奇数项组成以11a为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以24a为首项，公比为4的等比数列；当n为奇数时，奇数项有12n项，偶数项有12n项，∴1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221423nnnnnnnS，当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n项，∴2(165)4(14)(32)4(21)221423nnnnnnnS，所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23nnnnnnSnnn为奇数为偶数．四、小结：1．掌握各种求和基本方法；2．利用等比数列求和公式时注意分11qq或讨论。