数列的求和专题【YX】

盘县第一中学高中数学资料1数列专题专题：数列的求和一、主要知识：1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11（2）等比数列的求和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn（切记：公比含字母时一定要讨论）2．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。3．公式法：1(1)1232nknnkn222221(1)(21)1236nknnnkn2333331(1)1232nknnkn4．倒序相加法：（如等差数列前n项和的推导）5．错位相减法：比如.,,2211的和求等比等差nnnnbabababa6．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：111)1(1nnnn；1111()(2)22nnnn)121121(21)12)(12(1nnnnnnnn1117．利用数列的通项求和：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.8．其它求和法：(如周期数列等等)二、例题分析：1．直接法例1.已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxxxS32＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n212.分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例2.求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得崇真求实,2)23741()1111(12naaaSnn（分组）当a＝1时，2)13(nnnSn＝2)13(nn（分组求和）当1a时，2)13(1111nnaaSnn＝2)13(11nnaaan3.公式法例3.求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设kkkkkkak2332)12)(1(∴nknkkkS1)12)(1(＝)32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得Sn＝kkknknknk1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333nnn＝2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn（分组求和）＝2)2()1(2nnn4.倒序相加法求和例4.求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S………….①将①式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S…………..②（倒序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx①+②得（倒序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S＝89∴S＝44.55．错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{anbn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.例5.求和：132)12(7531nnxnxxxS思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列120,,,,nxxxx对应项积，可用错位相减法求和。解：由132)12(7531nnxnxxxS………………………①nnxnxxxxxS)12(7531432……………….②（设制错位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1当,1时x21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn当2,1nSxn时盘县第一中学高中数学资料3数列专题例6.求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.思路分析：{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积解：设nnnS2226242232…………………………………①14322226242221nnnS………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(nnnnS（错位相减）1122212nnn∴1224nnnS6.裂项相消法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：例7.求和)12)(12(1531311nnSn解:)121121(21)12)(12(1kkkkak12)1211(21)]121121()5131()311[(2121nnnnnaaaSnn例8.在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.解：∵211211nnnnnan∴)111(8)1(82122nnnnnnbn（裂项）∴数列{bn}的前n项和)]111()4131()3121()211[(8nnSn（裂项求和）＝)111(8n＝18nn例9.求数列,11,,321,211nn的前n项和.解：设nnnnan111（裂项）则11321211nnSn（裂项求和）＝)1()23()12(nn＝11n7、利用数列的通项求和例10.求11111111111个n之和.崇真求实,4解：由于)110(91999991111111kkk个个（找通项及特征）∴11111111111个n＝)110(91)110(91)110(91)110(91321n（分组求和）＝)1111(91)10101010(911321个nn＝9110)110(1091nn＝)91010(8111nn8．其它求和方法例11.数列{an}：nnnaaaaaa12321,2,3,1，求S2013.解：设S2002＝2002321aaaa由nnnaaaaaa12321,2,3,1可得,2,3,1654aaa,2,3,1,2,3,1121110987aaaaaa……2,3,1,2,3,1665646362616kkkkkkaaaaaa∵0665646362616kkkkkkaaaaaa（找特殊性质项）∴S2013＝2013321aaaa（合并求和）＝)()()(66261612876321kkkaaaaaaaaaa201320122011201020062005)(aaaaaa＝201320122011aaa＝362616kkkaaa＝6例12．已知数列{}na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS．解：奇数项组成以11a为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以24a为首项，公比为4的等比数列；当n为奇数时，奇数项有12n项，偶数项有12n项，∴1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221423nnnnnnnS，当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n项，∴2(165)4(14)(32)4(21)221423nnnnnnnS，所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23nnnnnnSnnn为奇数为偶数．