数列类比题(答案)

等差数列与等比数列的类比执教教师：上海市北郊高级中学刘家平执教班级：高三（2）班执教时间：2007年12月6日上午第二节一、教学目标：1．知识与技能目标：理解等差数列与等比数列之间类比关系；2．过程与方法目标：在等差数列与等比数列的对比思考中，提高学生类比思维能力和创新能力；3．情感态度与价值观目标：在师生互动的研讨活动中共同探索，感悟数学的内在美，体会发现规律的成功感，，培养学生学习数学的兴趣和积极性。二、教学重点、难点1、教学重点：等差数列与等比数列的性质类比。2、教学难点：类比思想的运用。三、教学过程：一、导入：首先通过科学事实——鲁班造锯的典故引入类比思想。教师：等差数列和等比数列具有极其相似的特点，比较它们的结构和运算性质，运用类比的方法，可使很多相关性质得以类比和迁移。今天我们就运用类比的思想对等差数列和等比数列的性质作进一步研究。二、类比问题的引入：教师：我们首先来看这样一个问题：例：在等差数列{an}中，若a1+a2+…+an=a1+a2+…+am),,(Nmnmn，则a1+a2+…+am+n=0。类比这一性质，相应地在等比数列{bn}中，________________________________。教师：象这样给出等差数列的一条性质，类比的写出等比数列的性质，这就要用类比思想的解决。为了解决这样的问题，我们首先来看一下等差数列与等比数列有哪些类比关系。三、等差数列与等比数列的类比关系1．类比关系（给出等差数列的性质，等比数列的性质由学生完成）项目等差数列等比数列定义an-an-1=d(n2，n∈N)1nnaa=q(n2，n∈N)通项公式an=a1+（n-1）d（n∈N）an=a1qn-1（n∈N）等差中项a、b的等差中项A，即A=2baa、b的等比中项G，即G=±ab性质若m+n=p+q，则am+an=ap+aq若m+n=p+q，则am·an=ap·aq教师：从这张表格中，我们可以总结出怎样的类比规则呢？（已经给出等差数列的内容）我们大家一起来探讨等比数列对应的运算是什么。（教师板书：类比规则的表格）学生讨论并回答，教师则在黑板上用彩色的粉笔写出等比数列对应的内容。2．类比规则：序号等差数列等比数列1加法乘法2减法除法3乘法乘方4除法开方5公差d公比q601四、类比应用教师：在知道了等差数列和等比数列的类比规则后，我们来看以下几个问题。例1、在等差数列{an}中，前n项和dnnnaaanaaaSnnn2)1(2)(1121类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，________________________________________。教师：（分析并提示学生）等差数列中给出前n项和，作加法，对应等比数列是什么？加法对应乘法（见板书），那就是前n项积。（板书前n项积nnbbbT21）后面公式中有公差，加法、乘法、除法，对应等比数列中公比、乘法、乘方、开方。（板书2)1(121)(nnnnnqbbb）（出示幻灯片结论：前n项积2)1(12121)(nnnnnnnqbbbbbbT。）教师：类比的结论得到了，我们来证明一下结论的正确性。（教师板书，学生口述）证明：2121112)1(1)1(21111211121)()(2nnnnnnnnnnnnbbqbbqbqbqbqbqbbbbbTn例2、已知等差数列有一性质：若{an}是等差数列，则通项为naaabnn21的数列{bn}也是等差数列。类比上述性质，相应地等比数列有性质：若{an}是等比数列（an0），则通项为bn=_____________________的数列{bn}也是等比数列。学生自己完成分析并得出结论：nnnaaab21学生口述证明类比的正确性：的等比数列，公比为是一个首相为等比数列的等差数列，公差为是一个首相为等差数列qabqaqaqaaaabaadabdnadnandnanaaabannnnnnnnnnnnnnnnnn11111211112)1(121)()0}({22)1(21}{212)1(教师：我们已经完成了两道题目，现在我们解决一开始的问题（幻灯片）例3、在等差数列{an}中，若a1+a2+…+an=a1+a2+…+am),,(Nmnmn，则a1+a2+…+am+n=0。类比这一性质，相应地在等比数列{bn}中，_______________________________________学生口述结论：若b1b2…bn=b1b2…bm),,(Nmnmn则b1b2…bm+n=1教师：我们如何来证明这里的性质呢？这里出现的是字母，如果我们将这里的字母用具体的数字代替，将会比较容易理解。如令n=4,m=10,则有命题：“在等差数列{an}中，若a1+a2+…+a4=a1+a2+…+a10，则a1+a2+…+a14=0”教师板书引导学生完成等差数列具体数字及字母的证明，再由学生自己完成等比数列的证明，教师用投影仪投影学生的证明并讲解。a1+a2+…+an=a1+a2+…+amb1b2…bn=b1b2…bma1+a2+…+an=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+amb1b2…bn=b1b2…bnbn+1bn+2…bman+1+an+2+…+am=0bn+1bn+2…bm=11)(02))((211nmmnmnbbaanman+1+am=0bn+1bm=1a1+a2+…+am+n=2))((2))((11mnnmaanmaanm=0b1b2…bm+n=22)()(11nmnmmnnmbbbb=1教师拓展说明：当nm时，结论仍然成立，所以10nmmnnnmmnnTTTbSSSa中，在等比数列中，在等差数列)(mn上述证明步骤每一步都是充要的，所以10nmmnnnmmnnTTTbSSSa中，在等比数列中，在等差数列)(mn五、思考题：在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n19,n∈N)成立。类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式____________________成立。（2000年上海高考第12题）六、课堂总结：学生口述总结类比规则（幻灯片）七、布置作业：补充题1:能力激活2：补充：1：在等差数列na中，若项数数列nk是等差数列)(Nkn，则nka仍是等差数列。类比：若na是等比数列，当nk)(Nkn是_____数列时，nka是____数列。2：思考：有一位同学发现：若na为等差数列，则1nnaa也成等差数列。由此经过类比，他猜想：若na为等比数列，则1nnaa、1nnaa也为等比数列。你认为呢？