数列练习题(全面)

1数列数列的概念1．选择题(1)数列3，12，30，60，…的一个通项公式是()A．32)1(9nnanB．an＝5n2－6n＋4C．2)2)(1(nnnanD．21217l12nnan(2)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，211nnnaaa(n≥3)则a5等于()A．1255B．313C．4D．5(3)在数列{an}中，已知)(1Rcncnan，则对于任意正整数n有()A．an＜an＋1B．an与an＋1的大小关系和c的值有关C．an＞an＋1D．an与an＋1的大小关系和n有关2．填空题(4)数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项是________．(5)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)则S100＝________．(6)无穷数列{an}同时满足条件：①对任意的正整数n，都有－2＜an＜4；②当n为正偶数时，an－1＜an且an＞an＋1；③当n＞3时，an＞0；请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式：an＝________．3．解答题(7)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3．(Ⅰ)求a2，a3；(Ⅱ)求an．(8)已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝41[(2n－1)an＋1＋1]，a1＝1，求数列{an}的通项公式．*(9)已知数列{an}中，,2183),21,0(21nnnaaa其中n≥2，n∈N*，求证：对一切n∈N*都有an＜an＋1成立．25．2等差数列1．选择题(1)在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于()A．40B．42C．43D．45(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝()A．9B．8C．7D．6(3)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{Sn}中也为常数的项是()A．S7B．S8C．S13D．S152．填空题(4)在1和15之间插入25个数，使所得到的27个数成等差数列，则插入的25个数的和是________．(5)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝10，S10＝－5，则公差为________(用数字作答)．(6)已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则｜m－n｜等于________．3．解答题(7)已知{an}为等差数列，前10项的和S10＝100，前100项的和S100＝10，求前110项的和S110．(8)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0．(Ⅰ)求公差d的取值范围；(Ⅱ)指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个最大，并说明理由．(9)在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1、a3、、、a、aankkk21成等比数列，求数列{kn}的通项kn．35．3等比数列1．选择题(1)等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是()A．179B．211C．243D．275(2)设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于()A．210B．220C．216D．215(3)给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q成等比数列，p，b，c，q成等差数列，则一元二次程bx2－2ax＋c＝0()A．无实数根B．有两个相等的实数根C．有两个同号的相异的实数根D．有两个异号的相异的实数根2．填空题(4)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是________．(5)在n1和n＋1之间插入n个正数，使这n＋2个正数成等比数列，则插入的n个正数之积为________．(6)一张报纸，其厚度为a，面积为b．现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7次，报纸的厚度为________，报纸的面积为________．3．解答题(7)在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，求数列{2na}前n项的和．(8)三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求此三个数．(9)数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是常数，n＝1，2，3，…)，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．(Ⅰ)求c的值；(Ⅱ)求{an}的通项公式．45．4数列求和1．选择题(1)在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝()A．33B．72C．84D．189(2)若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是()①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an．其中n为大于1的整数，Sn为{an}的前n项和．A．①和④B．①和③C．①和②D．③和④(3)在10到2000之间，形如2n(n∈N*)的各数的和为()A．1008B．2040C．2032D．20162．填空题(4)数列{an}满足：a1，a2－a1，a3－a2，a4－a3，…，an－an－1是首项为1，公比为31的等比数列．则其前n项和为________．(5)已知数列{an}是各项为正数的等比数列，且a5·a6＝64，则此数列前10项取以4为底的对数的和log4a1＋log4a2＋log4a3＋…＋log4a10＝________．(6)在等比数列{an}的前n项和中，S1最小，且a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项和Sn＝126，则n为________，公比q为________．3．解答题(7)已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2(n∈N*)，又bn＝｜an｜，(n∈N*)，求bn的前n项和Tn．(8)等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，255aS．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若数列{bn}满足,.112nnnaannb求数列{bn}的前99项的和．(9)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．(Ⅰ)设bn＝an＋1－2an，求证{bn}是等比数列；(Ⅱ)设nnnac2，求证{cn}是等差数列；(Ⅲ)求Sn．55．5数列综合(一)1．选择题(1)在等比数列{an}中，a1＜0，若对正整数n都有an＜an＋1，那么公比q的取值范围是()A．q＞1B．0＜q＜1C．q＜0D．q＜1(2)一个屋顶的斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层比上一层多铺一块，斜面上铺了瓦片19层，则共铺了瓦片()A．288块B．570块C．589块D．209块(3)某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意(含弃权)按“0”，令.0.1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第ji，ji，ija其中i＝1，2，…，k，且j＝1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为()A．a11＋a12＋…＋a1k＋a21＋a22＋…＋a2kB．a11＋a21＋…＋a1k＋a12＋a22＋…＋ak2C．a11a12＋a21a22＋…＋ak1ak2D．a11a21＋a12a22＋…＋a1ka2k2．填空题(4)在等比数列{an}中，a5，a9是一元二次方程7x2－18x＋7＝0的两根，则a7的值为________．(5)已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列运算,23lg4lg.2lg3lg4log3log.3221aaa1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log67·log78＝.37lg8lg.6g17lg..3lg4lg.2lg3lg……定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的k(k∈N*)叫做希望数．试确定当a1·a2·a3·…·ak＝2010时，希望数k＝________．(6)一个弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程的和为________．3．解答题(7)某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备迅达6号，并马上投入生产．第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元．请你根据以上数据，解决下列问题：(Ⅰ)引进该设备多少年后，开始盈利?(Ⅱ)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪种方案较为合算?并说明理由．(8)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n．(Ⅰ)设12nnnab证明：数列{bn}是等差数列；(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn．6(9)已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点))(,(1*Nnaann在函数y＝x2＋1的图象上．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若列数{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋na2，求证：bn·bn＋221nb．5．6数列综合(二)1．选择题(1)设a1，a2，…，a50是从－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50中有0的个数为()A．10B．11C．12D．13(2)在数列{an}中，若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则下列不等式中成立的是()A．a2a4≤23aB．a2a423aC．a2a4≥23aD．a2a4＞23a(3)已知数列{an}的前n项和nnbaSnnn]()21)(1(2[])21(2[111，2，…)，其中a、b是非零常数，则存在数列{xn}、{yn}使得()A．an＝xn＋yn，其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列B．an＝xn＋yn，其中{xn}和{yn}都为等差数列C．an＝xn·yn，其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列D．an＝xn·yn，其中{xn}和{yn}都为等比数列2．填空题(4)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n＋p＋2，则an＝________；若{an}为等差数列，则p＝________．(5)若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则21221)(bbaa的取值范围是________．(6)将正奇数分成下列组(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13，15，17，19)，…则第n组的第一个数是________．3．解答题(7)已知S＝｜n－1|＋｜n－2|＋…＋｜n－100｜(n∈N*，n≤100)，求n为何值时，S最小，并求S的最小值．(8)等差数列{an}中，a4＝10且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20．(9)设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝can＋1－c，c∈N*，其中a，c为实数，且c≠0．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设21,21ca，bn＝n(1－an)，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；(Ⅲ)若0an1对任意n∈N*成立，证明0c≤1．7每课作业参考答案第五章数列5．1数列的概念(1)C(2)A(3)B(4)108(5)2600(6)由①知数列{an}是有界的；由②知数列{an}是个摆动数列；由③知正负交替不行，可以采取各项同加以一个正数，使③满足．答案不唯一，如：an＝2＋(－1)n或an＝nn)1(2或nna)2(12(7)解：(Ⅰ)a2＝5，a3＝13．(Ⅱ)an＝2n＋1－3．(8)解：由已知可得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1