数列通项超全高中数学数列通项解法专题总结

数列通项总结一、累加法（逐差相减法）1、daann1（d为常数），等差数列2、)(1nfaann，变形为)(1nfaann，前提)1()1(nff可求)1()2()1(12211faanfaanfaannnn这1n个等式累加得:)1()2()1(1nfffaan例1:已知数列na满足211a，nnaann211，求na。例2：已知数列1}{1aan中，且kkkaa)1(122，kkkaa3212，3,2,1k（1）求53,aa（2）求}{na的通项公式.二、累积法（逐商相乘法）1、nnqaa1（q为常数），等比数列2、nnanfa)(1，变形为)(1nfaann，前提)1()2()1(nfff可求)1()2()1(12211faanfaanfaannnn这1n个等式累乘得:)1()2()1(1nfffaan例1:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。例2:已知31a，nnanna23131)1(n，求na。三、公式法1(2)nnnaSSn，)1(11nSSannn例1：已知各项均为正数的数列{na}的前n项和为nS满足1S＞1且6nS=(1)(2)nnaan∈N求{na}的通项公式。解：由11aS=111(1)(2)6aa解得1a=1或1a=2，由已知11aS＞1，因此1a=2又由11nnnaSS=1111(1)(2)(1)(2)66nnnnaaaa得11()(3)nnnnaaaa=0∵na＞0∴13nnaa从而{na}是首项为2，公差为3的等差数列，故{na}的通项为na=2+3(n-1)=3n-1.例2：已知数列na前n项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公式na.四、待定系数法1、qpaann1（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）。把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，令tabnn11，则nnpbb1等比数列例1：已知数列na中，11a，321nnaa，求na.2、nnnqpaa1，两边同除以1nq，qqaqpqannnn11例2：已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。3、rnnpaa1)0,0(nappaappaannrnnrrloglogloglogloglog1等式两边取对数后转化为qpaann1例1：已知数列｛na｝中，2111,1nnaaaa)0(a，求数列.的通项公式na例2：已知数列:,}{且满足的各项都是正数na.),4(21,110Nnaaaannn求数列}{na的通项公式na4、banpaann1)001(，a、p利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1yxnapynxann，与已知递推式比较，解出yx,,从而转化为yxnan是公比为p的等比数列。例1:设数列na：)2(,123,411nnaaann，求na.5、qpnaann1或nnnpqaa1转化为12na与na2是等差或等比数列求解。例1:在数列}{na中，nnanaa6,111，求na例2:在数列}{na中，nnnaaa3,111，求na五、取倒法qaaannn1，两边取倒：nnnnaqaqaa1111，111nnab，则11nnqbb等比数列，更一般：qparaannn1例1：已知数列{na}，1a=1，11nnnaaanN，求na=？例2：若数列的递推公式为)(211,311Nnaaann，则求这个数列的通项公式。例3：已知数列{na}满足2,11na时，nnnnaaaa112，求通项公式。例4：已知数列｛an｝满足：1,13111aaaannn，求数列｛an｝的通项公式。例5：若数列｛an｝中，a1=1，a1n=22nnaan∈N，求通项an．六、特征方程法1、已知数列}{na的项满足：1aa且对于Nn，都有hraqpaannn1（其中p、q、r、hR，且rharqrph1,0,），称方程hrxqpxx为数列na的特征方程.（1）当特征方程有两个相同的特征根x时，（i）若,1xa则数列}{na为常数数列（ii）若xa1，则数列}1{xan为等差数列。（2）当特征方程有两个相异的特征根1x、2x时，则数列}{21xaxann为等比数列。说明：（i）21,xx的顺序是任意的（ii）21xaxann与12xaxann互为相反数，如果一个为整数，一个为分数，为了计算方便，可取21xaxann为整数。例1：已知数列}{na满足性质：对于,234,N1nnnaaan且,21a求}{na的通项公式.（1）特征方程求根：,234xxx0322xx，0)1)(3(xx，（2）根据根的情况判断等比或等差，并求出：33212q，311232q（3）验证：3)1(5232553234)1(2343)1(11nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa（4）换元：令3)1(nnnaab，则nnbb51，则，33)1(111aab1115)3(nnnqbb（5）反解：3)1(5)3(1nnnaa，则）（1)1(531159nnna例2：已知数列{}na的首项135a，1321nnnaaa，12n，，．（Ⅰ）求{}na的通项公式；解：其中数列na的通项公式的求解如下：数列na相应的特征方程为321xxx，特征根为121,0所以数列1{}nnaa为等比数列，由1239,511aa，得数列1{}nnaa的首项是29,311公比是，所以131321nnnaa，332nnna解之得2、形如21(,nnnapaqapq是常数）的数列形如112221,,(,nnnamamapaqapq是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项na，其特征方程为2xpxq…①（1）若①有二异根,，则可令1212(,nnnacccc是待定常数）（2）若①有二重根，则可令1212()(,nnacnccc是待定常数）再利用1122,,amam可求得12,cc，进而求得na例1：已知数列{}na满足*12212,3,32()nnnaaaaanN，求数列{}na的通项na解：其特征方程为232xx，解得121,2xx，令1212nnnacc，由1122122243accacc，得12112cc，112nna例2：已知数列{}na满足*12211,2,44()nnnaaaaanN，求数列{}na的通项na解：其特征方程为2441xx，解得1212xx，令1212nnacnc，由1122121()121(2)24accacc，得1246cc，1322nnna七、双数列型根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例1：nnnb332，求nS例2：已知数列na中，11a；数列nb中，01b。当2n时，)2(3111nnnbaa,)2(3111nnnbab，求na,nb.八、周期法由递推式计算出前几项，寻找周期。例1：若数列na满足)121(,12)210(,21nnnnnaaaaa，若761a，则20a的值为___________。