数列高二复习型

2009届高三数学二轮专题复习教案――数列一、本章知识结构：二、重点知识回顾１．数列的概念及表示方法（１）定义：按照一定顺序排列着的一列数．（２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．（３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．（４）na与nS的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn≥．2．等差数列和等比数列的比较（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列．（２）递推公式：110nnnnaadaaqqnN，·，，．（３）通项公式：111(1)nnnaandaaqnN，，．（４）性质等差数列的主要性质：①单调性：0d≥时为递增数列，0d≤时为递减数列，0d时为常数列．②若mnpq，则()mnpqaaaamnpqN，，，．特别地，当2mnp时，有2mnpaaa．③()()nmaanmdmnN，．④232kkkkkSSSSS，，，…成等差数列．等比数列的主要性质：①单调性：当1001aq，或101aq时，为递增数列；当101aq，，，或1001aq时，为递减数列；当0q时，为摆动数列；当1q时，为常数列．②若mnpq，则()mnpqaaaamnpqN··，，，．特别地，若2mnp，则2mnpaaa·．③(0)nmnmaqmnqaN，，．④232kkkkkSSSSS，，，…，当1q时为等比数列；当1q时，若k为偶数，不是等比数列．若k为奇数，是公比为1的等比数列．三、考点剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例1.（2008深圳模拟）已知数列.12}{2nnSnann项和的前（1）求数列}{na的通项公式；（2）求数列.|}{|nnTna项和的前解：（1）当111112,1211San时；、当.213])1()1(12[)12(,2221nnnnnSSannnn时，.213111的形式也符合na.213}{,naann的通项公式为数列所以、（2）令.6,,0213*nnnan解得又N当2212112||||||,6nnSaaaaaaTnnnnn时；当||||||||||,67621nnaaaaaTn时naaaaaa87621.7212)12()6612(222226nnnnSSn综上，.6,7212,6,1222nnnnnnTn点评：本题考查了数列的前n项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n＝１时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想．例２、（2008广东双合中学）已知等差数列}{na的前n项和为nS，且35a，15225S.数列}{nb是等比数列，32325,128baabb（其中1,2,3,n…）.（I）求数列}{na和{}nb的通项公式；（II）记,{}nnnnncabcnT求数列前项和.解：（I）公差为d，则,22571515,5211dada12,2,11nadan故(1,2,3,n)….设等比数列}{nb的公比为q，,128,82333qbqbb则.2,83qbnnnqbb233(1,2,3,n)….（II）,2)12(nnnc2323252(21)2,nnTn.2)12(2)32(2523221432nnnnnT作差：115432)12(22222nnnnT3112(12)2(21)212nnn31122122(21)(21)222822nnnnnnn162(23)nn1(23)26nnTn(1,2,3,n)….点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。考点二：求数列的通项与求和例3.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（3n）从左向右的第3个数为解：前n－1行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即22nn个，因此第n行第3个数是全体正整数中第22nn＋3个，即为262nn．点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。例4.（2008深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含()fn个“福娃迎迎”，则(5)f；()(1)fnfn＿＿＿＿解：第1个图个数：1第2个图个数：1+3+1第3个图个数：1+3+5+3+1第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=41，所以，f（５）＝４１f(2)-f(1)=４，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６()(1)fnfn4(1)n点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。考点三：数列与不等式的联系例5.（２００９届高三湖南益阳）已知等比数列na的首项为311a，公比q满足10qq且。又已知1a，35a，59a成等差数列。（1）求数列na的通项123456789101112131415………………（2）令nanb13log，求证：对于任意nN，都有122311111...12nnbbbbbb（1）解：∵315259aaa∴24111109aqaaq∴4291010qq∵10qq且∴13q∴113nnnaaq（2）证明：∵133loglog3nannbn，11111(1)1nnbbnnnn∴12231111111111...1122311nnbbbbbbnnn122311111...12nnbbbbbb点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。例６、(2008辽宁理)在数列||na，||nb中，a1=2，b1=4，且1nnnaba，，成等差数列，11nnnbab，，成等比数列（n*N）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测||na，||nb的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：1122111512nnababab…．解：（Ⅰ）由条件得21112nnnnnnbaaabb，由此可得2233446912162025ababab，，，，，．猜测2(1)(1)nnannbn，．用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即2(1)(1)kkakkbk，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kkkkkkaabakkkkkbkb，．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)nnannbn，对一切正整数都成立．（Ⅱ）11115612ab．n≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)nnabnnnn．故112211111111622334(1)nnabababnn……111111116223341nn…111111562216412n综上，原不等式成立．点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．例７.（2008安徽理）设数列na满足3*010,1,,nnaacaccNc其中为实数（Ⅰ）证明：[0,1]na对任意*nN成立的充分必要条件是[0,1]c；（Ⅱ）设103c，证明：1*1(3),nnacnN;（Ⅲ）设103c，证明：222*1221,13naaannNc解：(1)必要性：120,1aac∵∴，又2[0,1],011ac∵∴，即[0,1]c充分性：设[0,1]c，对*nN用数学归纳法证明[0,1]na当1n时，10[0,1]a.假设[0,1](1)kak则31111kkacaccc，且31110kkacacc1[0,1]ka∴，由数学归纳法知[0,1]na对所有*nN成立(2)设103c，当1n时，10a，结论成立当2n时，3211111,1(1)(1)nnnnnnacacacaaa∵∴103C∵,由（1）知1[0,1]na，所以21113nnaa且110na113(1)nnaca∴21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)nnnnnacacacac∴1*1(3)()nnacnN∴(3)设103c，当1n时，2120213ac，结论成立当2n时，由（2）知11(3)0nnac21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)nnnnnacccc∴222222112212[3(3)(3)]nnnaaaaanccc∴2(1(3))2111313ncnncc点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。考点四：数列与函数、概率等的联系例题８..(2008福建理)已知函数321()23fxxx.（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点211(,2)nnnaaa(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.(Ⅰ)证明：因为321()2,3fxxx所以f′(x)=x2+2x,由点211(,2)(N)nnnaaan在函数y=f′(x)的图象上,又0(N),nan所以11()(2)0,nnnnaaaa所以2(1)32=22nnnSnnn,又因为f′(n)=n2+2n,所以()nSfn,故点(,)nnS也在函数y=f′(x)的图象上.(Ⅱ)解:2()2(2)fxxxxx,由()0,fx得02xx或.当x变化时,()fx﹑()fx的变化情况如下表:注意到(1)12aa,从而①当212,21,()(2)3aaafxf即时的极大值为,此时()fx无极小值；②当10,01,()aaafx即时的极小值为(0)2f,此时()fx无极大值；③当2101,()aaafx或或时既无极大值又无极小值.点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.例９、（２００７江西理）将一骰