数列题与解答题答案

1.已知数列}{an,651a,若以aaaan,,,,321为系数的二次方程0121xaxann都有根、，且满足133。（1）求数列}{an通项公式；（2）求数列}{an前n项和Sn．解：（1）2131nna；（2）312123nnnS。2.已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1qaan，*)(log3241Nnabnn，数列nnnnbacc满足}{。（1）求证：}{nb是等差数列；（2）求数列}{nc的前n项和Sn；（3）若对1412mmcn一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。证明：（1）由已知41,411qa可得nna41。又nnab41log2232log34141nbnn。)2(531nnbn，可得)2(31nbbnn所以，}{nb是以3,11db的等差数列。………….4解：（2）由已知有.41)23(nnnnnbac.41)23(41441121nnns13241234144141nnns两式相减得13241)23(41414134143nnnns化简得nnns432332…………….8（3）由12331412314134123411311nnnnnccnnnn，所以，nc是n的单调递减函数，411ccn，141412mm，解得1m或5m，所以，m的取值范围是5,,1。………..143．已知数列{an}中，a1=1，a2=3，且点（n，an）满足函数y=kx+b．（Ⅰ）求k，b的值，并写出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记2nanb，证明数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的前n和nS．解：（1）将（1，a1），（2，a2）代入y=kx+b中得：12321kbkkbb……4分21nan………………………………6分（2）212,2,nannnbb2(1)121212242nnnnbb，………………………9分{}nb是公比为4的等比数列，………………………11分又12b2(14)2(41)143nnnS………………………14分4.已知数列{an}中，a1=1，a2=3，且点（n，an）满足函数y=kx+b．（1）求k，b的值，并写出数列{an}的通项公式；（2）记2nanb，求数列{bn}的前n和Sn．解：（1）将（1，a1），（2，a2）代入y=kx+b中得：12321kbkkbb…3分21nan……………7分（2）212,2,nannnbb2(1)121212242nnnnbb，{}nb是公比为4的等比数列，…………10分又12b2(14)2(41)143nnnS………………14分5.设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的nN+，都有2)2(8nnaS。（1）写出数列{an}的前3项；（2）求数列{an}的通项公式(写出推证过程)；（3）设14nnnaab，nT是数列{bn}的前n项和，求使得20mTn对所有nN+都成立的最小正整数m的值。解:(1)n=1时2118(2)aa∴12an=2时21228()(2)aaa∴26an=3时212338()(2)aaaa∴310a…………3分(2)∵28(2)nnSa∴2118(2)(1)nnSan两式相减得:2218(2)(2)nnnaaa即2211440nnnnaaaa也即11()(4)0nnnnaaaa∵0na∴14nnaa即{}na是首项为2,公差为4的等差数列∴2(1)442nann…………8分(3)1441111()(42)(42)(21)(21)2(21)(21)nnnbaannnnnn∴12111111[(1)()()]2335(21)(21)nnTbbbnn11111(1)2212422nn…………12分∵20nmT对所有nN都成立∴1202m即10m故m的最小值是10…………14分6.某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值．解：设这台机器最佳使用年限是n年,则n年的保养、维修、更换易损零件的总费用为：,23)1(1.04.03.02.02nnn2072.7203n0.2n0.27:22nnn总费用为，),2.720(0.35207n7.2y:2nnnnn年的年平均费用为,2.1202.722.720nn等号当且仅当.12n2.720时成立即nn万元）(55.12.135.0ymin答：这台机器最佳使用年限是12年，年平均费用的最小值为1.55万元．7.已知等差数列{}na满足：37a，5726aa，{}na的前n项和为nS。（1）求na及nS；(2)令*24()1nnbnNa，求数列{}nb的前n项和nT。答案：2212,1nSnnnannnTn，8.等差数列na中，11a，前n项和nS满足条件24,1,2,nnSnS，（Ⅰ）求数列na的通项公式和nS；（Ⅱ）记12nnnba，求数列nb的前n项和nT．解：（Ⅰ）设等差数列na的公差为d,由24nnSS得：1214aaa，所以2133aa，且212daa，所以1(1)12(1)21naandnn2(121)2nnnSn（Ⅱ）由12nnnba，得1(21)2nnbn所以12113252(21)2nnTn，……①…231223252(23)2(21)2nnnTnn，……②…①-②得211222222(21)2nnnTn212(1222)(21)21nnn2(12)(21)2112nnn9.等比数列na的前n项和为nS，已知1S,3S,2S成等差数列．[来源:学.（Ⅰ）求na的公比q；（Ⅱ）已知133aa，求nS．（Ⅰ）依题意有)(2)(2111111qaqaaqaaa由于01a，故022qq又0q，从而21－q．……………………6分（Ⅱ）由已知可得321211）（aa故41a从而141281113212nnnS……12分10.以数列}{na的任意相邻两项为坐标的点),(1nnnaaP（*Nn）都在一次函数kxy2的图象上，数列}{nb满足)0,(1*1bnaabnnnN．（1）求证：数列}{nb是等比数列；（2）设数列}{na，}{nb的前n项和分别为nnTS,，且9,546STS，求k的值．（1）点))(,(*1Nnaapnnn都在一次函数y=2x+k图像上，则有kaann211nb=2na－1na=（21na+k）－（2na+k）=2(1na－na)=2nb．∴nnbb1=2故nb是以1111212akakaaab为首项，2为公比的等比数列．…4分（2）∵nb=（ka1）·12n=1na－na211112301122)(2)(2)(nnnakaaakaaakaana=(ka1)·12n－k∴kabnn，又46TS即4321621bbbbaaa∴kaa465即kkkaka422)(2)(5141∴ka871∴kkann12)8(又95S∴9521)21(85kk∴k=811.已知各项均为正数的数列}{na中，nSa,11是数列na的前n项和，对任意Nn，有1222nnnaaS.函数xxxf2)(，数列}{nb的首项41)(,2311nnbfbb.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）令)21(log2nnbc求证：}{nc是等比数列并求}{nc通项公式；1,3,5（Ⅲ）令nnncad，为正整数）n(，求数列}{nd的前n项和nT.解:（Ⅰ）由1222nnnaaS①得1221211nnnaaS②由②—①，得)()(2212211nnnnnaaaaa即：0)())((2111nnnnnnaaaaaa---------2分0)122)((11nnnnaaaa由于数列na各项均为正数，1221nnaa即211nnaa数列na是首项为1，公差为21的等差数列，数列na的通项公式是2121)1(1nnan----------4分（Ⅱ）由41)(1nnbfb知4121nnnbbb，所以21)21(21nnbb，有)21(log2)21(log)21(log22212nnnbbb，即nncc21，---------6分而12log)21(log2121bc，故}{nc是以11c为首项，公比为2的等比数列。所以12nnc---------8分（Ⅲ）212)1(221nnnnnnncad，所以数列}{nd的前n项和nT23012)1(22322nnnn错位相减可得nT12nn-----12分12.已知：等差数列{na}中，4a=14，前10项和18510S．（1）求na；（2）将{na}中的第2项，第4项，…，第n2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n项和nG．解析：(1)由41014185aS∴11314,1101099185,2adad153ad由23,3)1(5nanann(1)设新数列为{nb}，由已知，223nnb.2)12(62)2222(3321nnGnnn*)(,62231NnnGnn13.已知数列nnSSnannn23}{2且项和为的前（1）求数列{na}的通项公式。（2）设数列11nnnaab，数列{nb}的前n项和为nT，证明61nT（1）解：当n1时561nSSannn，……2分当n=1是满足111Sa。所以56nan…………4分2）由（1）知]161561[61)16)(56(111nnnnaabnnn……6分所以：因为61,*nTNn所以……12分14、已知数列na的各项均为正数，nS为其前n项和，对于任意的*nN，满足关系式233nnSa（1）求数列{}na的通项公式；（2）设数列{}nb的通项公式是3311loglognnnbaa，求{}nb的前n项和为nT．解：（I）由已知得11233,233(2).nnnnSaSan