数字信号处理中基于逆Z变换的系统响应的软件实现课程设计

课程设计任务书2010—2011学年第一学期专业：通信工程学号：080110040姓名：刘静课程设计名称：数字信号处理课程设计设计题目：基于逆Z变换的系统响应的软件实现完成期限：自2010年12月23日至2010年12月30日共1周一．设计目的1．巩固所学的理论知识。2．提高综合运用所学理论知识独立分析和解决问题的能力。3．更好地将理论与实践相结合。4．掌握信号分析与处理的基本方法与实现。5．熟练使用MATLAB语言进行编程实现。二．设计内容设系统函数为2115.02.223zzzzH，输入信号5,3,4,2nx，用MATLAB编程实现用逆Z变换计算输出ny。三．设计要求1．输入信号nx的起点为n=-1；2．给出输出结果ny并图示nx和ny。四．设计条件计算机、MATLAB语言环境五、参考资料[1]《数字信号处理》（第三版），丁玉美，高西全.西安电子科技大学出版社，2000.[2]《MATLAB及在电子信息课程中的应用》，陈怀堔，吴大正，高西全.电子工业出版社，2006.[3]《MATLAB7.0从入门到精通》，求是科技.人民邮电出版社，2006.[4]《数字信号处理（第三版）》学习指导，高西全，丁玉美.西安科技大学出版社，2001.指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：年月日摘要逆z变换的定义是这样描述的：已知序列的z变换及其收敛域，求原序列x(n)的过程称为求逆z变换。在此课程设计中，我们主要介绍了序列的逆z变换和z变换，并在MATLAB中用留数法实现逆z变换的过程。而序列的z变换正好是逆z变换的逆过程。系统响应是对系统而言，在时域内由系统函数和序列x(n)进行卷积可以求得系统的响应。而在频域内可由系统函数的z变换和x(n)的z变换做乘积可得系统响应y(n)，本课程设计用的第二种方法。对于作图软件：MATLAB是MATrixLABoratory的缩写，早期主要用于现代控制中复杂的矩阵、向量的各种运算。MATLAB以矩阵作为基本编程单元，它提供了各种矩阵的运算与操作，并有较强的绘图功能。本设计将围绕如何实现逆z变换的设计展开有关z变换和逆z变换的相关知识点介绍。并用求逆z变换的方法在MATLAB实现求逆z变换，即求得系统的响应。关键词：MATLAB、逆z变换、系统响应、极点目录1课题描述----------------------------------------------------------12设计原理----------------------------------------------------------12.1求逆Z变换的方法-----------------------------------------------12.1.1FT的逆变换为----------------------------------------------12.1.2ZT的逆变换为----------------------------------------------22.2系统稳定性----------------------------------------------------23设计过程----------------------------------------------------------23.1逆Z的定义-----------------------------------------------------23.1.1围线积分法-------------------------------------------------33.1.2留数定理--------------------------------------------------33.1.3部分分式展开法---------------------------------------------44设计内容----------------------------------------------------------55设计步骤----------------------------------------------------------56程序运行结果------------------------------------------------------7总结--------------------------------------------------------------9参考文献-----------------------------------------------------------10课程设计说明书（论文）11课题描述在时域离散信号和系统中，用序列的傅里叶变换进行频域分析，z变换则是其推广，用以对序列进行复频域分析。因此z变换在十字信号处理中同样起着很重要的作用。在数字信号中有时也用逆z变换求解相关题目。逆z变换定义为：已知序列的z变换X(z)及其收敛域，求其原序列x(n)的过程称为求逆z变换。计算逆z变换的方法有留数法、部分分式展开法和幂级数法（长除法）。MATLAB是MATrixLABoratory的缩写，早期主要用于现代控制中复杂的矩阵、向量的各种运算。MATLAB以矩阵作为基本编程单元，它提供了各种矩阵的运算与操作，并有较强的绘图功能。本课题主要是利用MATLAB求逆z变换的输出。在此顺便探讨一下系统的稳定性和稳定性及频率响应的特点。2设计原理2.1求逆z变换的方法用留数定理求z变换及其逆z变换表示如下：()()nnXzxnz//xxRzR（1-1）11()()2ncxnXzzdzj(,)xxcRR（2-2）2.1.1FT的逆变换为1()()2jjnxnXeed（2-3）用留数定理求其逆变换，或将z=ejω代入X(ejω)中，得到X(z)函数，再用求逆z变换的方法求原序列。注意收敛域要取能包含单位圆的收敛域，或者说封闭曲线c可取单位圆。课程设计说明书（论文）2例如，已知序列x(n)的傅里叶变换为1()1jjXeae||1a（2-4）求其反变换x(n)。将z=ejω代入X(ejω)中，得到因极点z=a，取收敛域为|z||a|，由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。2.1.2ZT的逆变换为11()()2ncxnXzzdzj(,)xxcRR（2-5）求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解。用围线积分法求逆z变换有两个关键。一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系，可以总结成几句话：①收敛域包含∞点序列是因果序列；②收敛域在某圆以内，是左序列；③收敛域在某圆以外，是右序列；④收敛域在整个z面，是有限长序列；⑤以上②、③、④均未考虑0与∞两点，这两点可以结合问题具体考虑。另一个关键是会求极点留数。2.2系统稳定性若H(z)满足|()|nhn，则说明系统是稳定的。若H(z)的收敛域包含在单位圆里，则系统是稳定的。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为：||rz,0r1这样H(z)的极点集中在单位圆的内部。具体系统的因果性和稳定性可有系统函数H(z)的极点分布和收敛域确定。3设计过程3.1逆z的定义求原程序的过程，称为逆z变换。实质上是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。求逆z变换常用以下3种基本方法：*围线积分法111)(azzX课程设计说明书（论文）3课程设计说明书（论文）3*部分分式展开法*长除法(或幂级数展开法)3.1.1围线积分法11()()2nxnXzzdzj（3-1）式中，c是X(z)收敛域中一条包围原点的逆时针的闭合围线，如图所示图1围线积分路径求逆z变换时，直接计算围线积分是比较麻烦的，用留数定理求则很容易。下面介绍留数定理。3.1.2留数定理用F(z)表示被积函数：11()Re[(),]2nkkXzzdzsFzzj（3-2）式中，Res[F(z),kz]表示被积函数F(z)在极点kzz的留数，逆Z变换是围线c内所有的极点留数点之和。如果kz是单极点，则根据留数定理有Res[F(z),kz]=()()|kkzzzzFz（3-3）如果kz是m阶极点，则根据留数定理有课程设计说明书（论文）4Res[F(z),kz]=111[()()]|(1)kmmkzzmdzzFzNdz！（3-4）（3-4）式表明，对于m阶极点，需要求m-1次倒数，这是比较麻烦的。如果c内有多个极点，而c外没有多个极点，则可以根据留数辅助定理改求c外极点留数之和，是问题简单化。如果F(z)在平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将z平面上的极点分成两部分：一部分是c内极点，设有1N个极点，用1kz表示；另一部分是c外极点，有2N个，用2kz表式。表示N=1N+2N。根据留数辅助定理，下式成立：12N1k121]),([Re]),([ResNkkkzzFszzF（3-5）3.1.3部分分式展开法对于大多数单节极点的序列，常常也用部分分式展开法求逆z变换。设x(n)的z变换Ｘ(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式M阶，将X(z)展开成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表（常见序列的z变换）求得各部分的逆变换，再相加便得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成下式：01()NmmmAzXzAzz（3-6）01()NmmmAAXzzzzz（3-7）观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数0A，在极点z=mz的留数就是系数mA。0()Re[,0]XzAsz（3-8）()Re[,0]mXzAsz（3-9）求出mA系数（m=0,1,2，···，N）后，根据公式可得x(n)序列。根据以上介绍的方法，可以用MATLAB求得逆Z变换后的序列。课程设计说明书（论文）54设计内容设系统函数为2115.02.223zzzzH，输入信号5,3,4,2nx，1:2n，用Z变换计算输出ny，ZYIZTny，并图示nx和ny。5设计步骤系统的方程式是分式可以根据逆z变换球系统的留数和极点编程如下：(1)b=[0,-3];a=[2,-2.2,0.5];%多项式的系数[r,p,c]=residuez(b,a);%求留数、极点和系数项disp('留数');disp(r');%显示输出参数disp('极点');disp(p');运行结果为：留数-3.27333.2733极点0.77910.3209(2)(2)由)(nx知道125342)(zzzzX故)()()()()(zAzBzzWzXzYnsy，其中：]5.0,2.2,2[])53,4,2[,3(convAB，，，nsy=分母分子多项式z的最高幂次之差。调用[r,p,k]=residuez(B,A),可由B,A求出r,p,k,进而求逆z变换，得)1()2()()1()()2()2()()1)(1()(nsynknsynknsynuprnsynurnynsynnsyn（5-1）1、求)(ny程序如下：clear,closeallx=[2,4,3,5];nsx=-1;%输入序列及初始时间nfx=nsx+length(x)-1;%计算序列终止时间课程设计说明书（论文）6Bw=-3;nsbw=-1;%系统函数的分子系数，及z的最高次数Aw=[2,-2.2,.5];nsaw=0%系统函数的坟墓系数，及z的最高次数B=conv(-3,x);%输入与分子z变换的多项式乘积A=Aw;%分母不变nsy=nsaw-(nsbw-nsx);%分子比分母z的次数高nsy[r,p,k]=residuez(B,A);%求留数r,极点p及直接项knf=input('终点时间nf=20');%要求键入终点