数分2011-2012期末试题答案

北京航空航天大学2011－2012学年第二学期期末考试《工科数学分析(II)》试卷班号学号姓名成绩题号一二三四五六七八总分成绩阅卷人校对人2012年6月18日2一．计算题。（35）1.计算向量场32()()3Axzixyzjxyk的旋度.解:2232(6)(13)33ijkrotAxyyiyjxkxyzxzxyzxy建议评分标准：如答案对，给5分，如果答案不对，旋度计算公式2分，三个分量各1分.2.通过改变积分次序计算累次积分221210122yxxyydyedxdyedx.解:22221211210100221(1)2yxxxxxyyxdyedxdyedxdxedyxedxe建议评分标准：改变积分次序3分，结果2分3.计算二重积分2222sin()Dxydxdyab，其中2222{(,)|10}xyDxyyab，且.解：取广义极坐标变换cossinxarybr，则(,)(,)xyabrr.在广义极坐标系下，积分区域D为{(,)|01,0}rr，因此原式=1200sin(1cos1)2dabrrdrab建议评分标准：广义极坐标变换2分，雅各比行列式1分，积分区域1分，结果1分.34.求极限22222223301limcos()xyzxyzrxyzrxyzedxdydzr.解：由积分中值定理，存在(,,),2222r，使得22222222223334cos()cos()3xyzxyzxyzrxyzedxdydzre因此，原式=2223044limcos()33re.建议评分标准：积分中值定理3分，结果2分.5.利用对称性计算三重积分2(cos())Vzxxydxdydz，其中22222{(,,)|2,}Vxyzxyzzxy.解：由于积分区域V关于yoz平面对称，cos()xxy为关于x的奇函数，因此cos()0Vxxydxdydz.下面计算2Vzdxdydz，采用球极坐标系sincossinsincosxryrzr，则此时2(,,)||sin(,,)xyzrr，被积区域V为{(,,)|0,02,02}4rr，因此原式=2222240004cossin(221)15ddrrdr.建议评分标准：对称性2分，计算过程2分，结果1分.6.利用对称性计算第一型曲面积分222xyyzzxdSxyz，为球面2221xyz.解：由于关于xoy平面对称，222yzzxxyz为z的奇函数，因此222=0yzzxdSxyz，又由于关于xoz平面对称，222xyxyz为y的奇函数，因此222=0xydSxyz，因此222=0xyyzzxdSxyz.(建议评分标准：过程及答案正确5分)47.计算第二型曲面积分xydydz，为221zxyz与围成区域边界的外侧.解法一：是一个封闭曲面，设所围区域为V，则由Gauss公式知0Vxydydzydxdydz.其中只需注意到V是关于xoz平面对称的，被积函数y是关于变量y的奇函数.建议评分标准：高斯公式3分，计算及结果2分.解法二：设221{(,,)|,01}xyzzxyz，指向下侧，222{(,,)|1,1}xyzzxy，指向上侧，22{(,)|1}xyDxyxy，则由对称性12=(2)20xyxyDDxydydzxyxdxdyxydxdy.而2=0xydydz，因此=0xydydz.建议评分标准：第一块曲面积分3分，第二块2分.二．（15）计算下面问题1)利用格林公式计算椭圆盘22222xxyy（0）的面积；2)计算第二型曲线积分22,22Lxdyydxxxyy其中L为包围原点的一条光滑封闭曲线，方向为逆时针.解：1）.222222=()xxyyxyy，由此我们可以给出椭圆222:22Lxxyy的一个参数方程cos,sinxyy，即cossin,02sinxy,因此椭圆盘22222xxyy的面积为22011[(cossin)(cos)sin(sincos)]22Lxdyydxd.2).记22(,)22yPxyxxyy，22(,)22xQxyxxyy，容易验证22222222(0)(22)QPyxxyxyxxyy时.为使用Green公式，做辅助曲线222:22Lxxyy，其中充分小使得L位于L所包围的区域内部，L取定向为逆时针.设L包围区域为V，L包围区域为V,由Green公式易知5\()0LLVVQPPdxQdydxdyxy，因此22122LLLVxdyydxPdxQdyPdxQdydxdy，其中倒数第一个等式使用了1)的结论.建议评分标准：第1小题6分，第二小题9分，其中两个偏导数3分，辅助曲线3分，答案3分.三．（10）利用高斯公式计算第二型曲面积分2zydzdxzdxdy，其中为2201zxyz(0z)，指向上侧.解:作辅助曲面'22{(,,)|1,1}xyzzxy，指向上侧，则与'构成一个封闭曲面，记它们所围区域为V.则由Gauss公式'221100323332Vxyzzydzdxzdxdydxdydzdzdxdyzdz.而'2zydzdxzdxdy=2211xydxdy，因此3222zydzdxzdxdy.建议评分标准：做辅助曲面3分，高斯公式3分，剩余两个计算各2分.四．（10）计算第二型曲面积分[2(,,)][2(,,)]2yfxyzxdydzxfxyzydzdxzdxdy，其中(,,)fxyz为连续函数，为曲面221xyz在第一卦限的部分，指向上侧.解：投影到xoy平面为22{(,)|1,0,0}xyDxyxyxy.的表达式为221zxy，(,)xyxyD.因此22[2(,,)][2(,,)]2[(2(,,))(2)(2(,,))(2)222]22xyxyDDyfxyzxdydzxfxyzydzdxzdxdyyfxyzxxxfxyzyyxydxdydxdy建议评分标准：投影到xoy平面4分，公式正确4分，最后的计算2分6五．（15）利用斯托克斯公式计算222222(+z)d()d(+y)dCyxxzyxz+++òÑ,其中C为曲面2222xyzbx（0,0zb）与222xyax(0ba)的交线，若从z轴正向看去，C为逆时针方向.解：设C在球面2222xyzbx上所围的区域为，取上侧.的表达式为：222()zbxby，22(,){(,)|2}xyxyDxyxyax.由Stokes公式知222222()d()d()d(22)(22)(22)=[(22)()(22)()(22)][(22)()(22)()(22)]2[2]22xyxyxyxyCxyDDDDyzxxzyxyzyzdydzzxdzdxxydxdyyzzzxzxydxdyxbyyzzxxydxdyzzybbdxdyzbdxdypG+++++=-+-+---+--+--=-+-+-=+==ò蝌蝌蝌蝌蝌Ñ2ab建议评分标准：斯托克斯公式7分，剩余计算8分.六．（15）设函数,fxgx具有2阶连续导数,并且积分2(+2e+2)d2()d0xCyfxyygxxygxfxy对平面上任一条封闭曲线C成立.求,fxgx.解：由积分与路径无关的等价条件知：2[2()]=[+2e+2]xygxfxyfxyygxxy，因此,fxgx应满足2'()2'()2()22()xygxfxyfxegx，因此'()()gxfx，'()()xfxegx成立,由'()''()fxgx得''()()xgxegx，解微分方程得121()2xxxgxxeCeCe，1211()'()22xxxxfxgxxeeCeCe.建议评分标准：积分与路径无关7分，得到两个常微分方程3分，求解5分.7七．（10）附加题（以下二题任选其一）：1．已知平面区域(,)01,01Dxyxy，L为D的正向边界，()fx为[0,1]上的连续函数，证明：（1）()()()();fyfxfyfxLLxedyyedxxedyyedx（2）()()2fyfxLxedyyedx.证明：1).由Green公式知()()()()()fyfxfyfxLDxedyyedxeedxdy,()()()()()fyfxfyfxLDxedyyedxeedxdy,又由于D关于直线yx对称，有()()()()()()fyfxfxfyDDeedxdyeedxdy，因此()()()()fyfxfyfxLLxedyyedxxedyyedx成立.2）.由1）的结论()()()()()()()()()()1(()())21=()21422fyfxfyfxfxfyLDDfyfyfxfxDDxedyyedxeedxdyeedxdyeeeedxdydxdy建议评分标准：第一小题6分，用了格林公式4分，对称性部分2分，第二小题4分.2．设(,)fxy是2R上的连续可微函数，且对圆221xy上的任一点均有(,)0fxy，求极限2222201limxyrrxyxfyfdxdyxy.解法一：我们采用极坐标变换cos,sinxy，设(,)(cos,sin)zfxyf，则易知xyxfyfz.因此82222122000121200002000001limlimlimlim(cos,sin)(cos,sin)=lim(cos,sin)lim2(cos,sin)2(0,0).xyrrrrxyrrrrrxfyfzdxdyddxyzddffrrdfrrdfrrf解法二：记L为单位圆周221xy，方向为逆时针，rL为圆周222xyr，方向为顺时针.则由Green公式，2222222221(,)(,)rxyLLrxyxfyfxyfxydyfxydxdxdyxyxyxy，又由于在L上均有(,)0fxy，因此2222(,)(,)0Lxyfxydyfxydxxyxy，因此222221002222(,)(,)(,)2(,)rrxyrxyLLxfyfdxdyxyxyfxydyfxydxfxydsfxyxyxy其中00(,)rxyL.因此2220022001limlim2(,)2(0,0).xyrrrxyxfyfdxdyfxyfxy建议评分标准：使用格林公式4分（对应计算了f对r的偏导数），将积分式化为Lr上的积分4分，答案2分.