数列测试题(有详解答案)

1实验中学高二数列测试题一、单项选择1.在等差数列na中，1590,S则8a（）A．3B．4C．6D．122.已知数列{}na是等差数列，且74321,0aaa，则公差d（）A．－2B．12C．12D．23.等差数列na中,12010S,那么29aa的值是()A．12B．24C．16D．484.在等差数列na中，若24681080aaaaa，则7812aa的值为()A．4B．6C．8D．105.已知数列}{na,若13423121,,,,,nnaaaaaaaaa是公比为2的等比数列,则}{na的前n项和nS等于()A.)]1(21[1naanB.)2(1nanC.)]12(2[11nanD.)]2(2[11nan6.A．1或－12B．1C．－12D．－27.已知na为等差数列，若9843aaa，则9SA.24B.27C.15D.548.等差数列2,5,8,中,2006是数列的().(A)第666项(B)第667项(C)第668项(D)第669项9.等差数列{}na中，271512aaa，则8a（）A、2B、3C、4D、610.在等差数列{}na中，已知5710aa，nS是数列{}na的前n项和，则11S()A．45B．50C．55D．6011.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S4＝36，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是()2A．(－12，－2)B．(－1，－1)C．(－12，－1)D．(2，12)12.在实数数列na中,已知01a,|1|||12aa,|1|||23aa,…,|1|||1nnaa,则4321aaaa的最大值为（）A．0B．C．2D．4二、填空题13.数列{an}中，a1＝1，a2＝23，且11na＋11na＝2an，则an＝____.14.设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m500}，则M中所有元素的和为________．15.已知等差数列{}na(公差不为零)和等差数列{}nb,如果关于x的方程21291299()0xaaaxbbb有解,那么以下九个方程2110xaxb,2220xaxb,2330xaxb,……,2990xaxb中,无解的方程最多有个.16.设12a，121nnaa，21nnnaba，*nN，则数列nb的通项nb=．三、解答题17.已知数列na，其前n项和为nnSn27232)(*Nn．（I）求数列na的通项公式，并证明数列na是等差数列；（II）设9(27)(21)nnncaa，数列nc的前n项和为nT，求使不等式57kTn对一切*Nn都成立的最大正整数k的值．18.数列{}na的首项11a,前n项和为nS,满足关系13(23)3nntStSt(0t,2n,3,4…)(1)求证:数列{}na为等比数列;(2)设数列{}na的公比为()ft,作数列{}nb,使11b,11()nnbfb.(2n,3,4…)求nb(3)求12233445()()nTbbbbbbbb…212221()nnnnbbbb的值319.设,4,221aa数列}{nb满足:,1nnnaab.221nnbb求数列}{na的通项公式.20.已知各项均为正数的两个数列{}na和{}nb满足:221nnnnnbabaa,*Nn,(1)设nnnabb11,*Nn,求证:数列2nnba是等差数列;(2)设nnnabb21,*Nn,且{}na是等比数列,求1a和1b的值.21.假设第n行的第二个数为(2,N)nann，（1）依次写出第六行的所有6个数字；（2）归纳出1nnaa与的关系式并求出na的通项公式；（3）设1,nnab求证：232nbbb22.已知数列na中,11a,23a,且112nnnaaa2n≥.(1)设1nnnbaa,是否存在实数,使数列nb为等比数列.若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;(2)求数列na的前n项和nS.参考答案一、单项选择1.C2.B3.B4.C5.D6.A7.B【解析】159159529,9,3,adadadaaaa19959927.2aaSa8.D9.C因为等差数列{}na中，利用等差中项的性质可知，271518812=3+34（7d）=aaaaaa10.C【解析】57111111011111155222aaaaS11.A4【解析】设数列{an}的公差为d，则有11212102434362adad，解得d＝4，于是直线PQ的斜率k＝22nnaann＝d＝4，故直线的一个方向向量的坐标可以是(－12，－2)．12.C二、填空题13.21n14.511【解析】∵2n500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511.15.4关于x的方程21291299()0xaaaxbbb有解.即:2129129490aaabbb.又数列{}na和{}nb为公差不为零的等差数列,所以2255559499040abab.A.故关于x的方程2550xaxb必定有解.另一方面:对关于x的方程2440xaxb,有:22444515244abadbd,要想40,则在理论上251524adbd.B.将B.与A.比较,当1d在减少的程度上比2d少的多,则B.一定成立.但由于对称关系:22666515244abadbd有可能就会小于零.综合考虑得无解的方程最多有4个.16.12nnb三、解答题517.18.(1)证:113(23)3(2)3(23)3nnnntStStntStSt,两式相减得13(23)0nntata,又1230,(2)3nnattnat,又当2n时,213(23)3tStSt,即1213()(23)3taatat,得2233tat,即21233atat,123(1)3nnatnatna数列为等比数列(2)由已知得23()3tfnt,11112312()()(2)33nnnnbbnfbnbbnb数列是以11b为首项,23为公比的等比数列.2133nbn(3)12233445()()nTbbbbbbbb…212221()nnnnbbbb=213435()()bbbbbb……22121()nnnbbb=24225(1)42()23323nnndbbbn=28493nn19.),2(222211nnnnbbbb,2221nnbb又121224baa,数列}2{nb是首项为4,公比为2的等比数列.2224211nnnnbb..221nnnaa令),1(,,2,1nn叠加得)1(2)222(232nann,620.(1)∵nnnabb11,∴11222=1nnnnnnnnabbaabba.∴2111nnnnbbaa.∴222221111*nnnnnnnnbbbbnNaaaa.∴数列2nnba是以1为公差的等差数列.(2)∵00nnab，,∴22222nnnnnnababab.∴12212nnnnnabaab.(﹡)设等比数列{}na的公比为q,由0na知0q,下面用反证法证明=1q若1,q则212=2aaaq,∴当12logqna时,112nnaaq,与(﹡)矛盾.若01,q则212=1aaaq,∴当11logqna时,111nnaaq,与(﹡)矛盾.∴综上所述,=1q.∴1*naanN,∴112a.又∵1122=nnnnbbbaa*nN,∴{}nb是公比是12a的等比数列.若12a,则121a,于是123bbb.又由221nnnnnbabaa即11221nnabaab,得22111212=1naaaba.∴123bbb，，中至少有两项相同,与123bbb矛盾.∴1=2a.∴2222222==221nb.∴12==2ab.21.（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6；（2）依题意)2(1nnaann，22a7)(......)()(134232nnnaaaaaaaa(2)(1)223......(1)22nnn，所以)2(121212nnnan；（3）因为1,nnab所以)111(222222nnnnnnbn所以)]111(...)3121()2111[(2......432nnbbbbn2)11(2n22.(1)假设存在实数,使数列nb为等比数列,则有2213bbb.①由11a,23a,且112nnnaaa,得35a,411a.所以1213baa,23253baa,343115baa,所以2533115,解得1或2.当1时,1nnnbaa,11nnnbaa,且1214baa,有1111122nnnnnnnnnnnaaabaabaaaa2n≥.当2时,12nnnbaa,112nnnbaa,且12121baa,有11111222122nnnnnnnnnnnaaabaabaaaa2n≥.所以存在实数,使数列nb为等比数列.当1时,数列nb为首项是4、公比是2的等比数列;当2时,数列nb为首项是1、公比是1的等比数列.(2)由(1)知111422nnnnaa1n,当n为偶数时,1234561nnnSaaaaaaaa2462222n22414124143nn.当n为奇数时,123451nnnSaaaaaaa8351222n1228141125143nn.故数列na的前n项和22124,3125,3nnnnSn为偶数，为奇数.注:若将上述和式合并,即得21112432nnnS.