数字信号处理讲义--第5章线性时不变系统的变换分析

第５章线性时不变系统的变换分析[教学目的]1．了解LTI系统频率响应的概念；2．掌握线性常系数差分方程所表征系数的系统函数的方法；3．掌握有理系统频率响应分析方法4．理解线性相位系统、广义线性相位系统与因果广义线性相位系统的概念，几类线性相位系统。[教学重点与难点]重点：1．线性常系数差分方程所表征系数的系统函数的方法；2．有理系统频率响应分析方法；3．几类线性相位系统。难点：1．有理系统频率响应分析方法几类线性相位系统5.1LTI系统的频率响应前面已经讨论过，在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h(n)来表示。对于一个给定的输入x(n)，其输出y(n)为对等式两端取Z变换，得则(5-1)两边做离散傅立叶变换有:|Y(ejω)|=|H(ejω)|·|X(ejω)|(5-2)|Y(ejω)|=|H(ejω)|·|X(ejω)|arg［Y(ejω)］=arg［H(ejω)］+arg［X(ejω)］|H(ejω)|幅度响应:增益/幅频特性调整输入信号各频率分量的相对强度(幅度)关系Arg[H(ejω)]频率响应的相位响应:相移/相频特性调整输入信号各频率分量的相对位置(相位)关系H(ejω)调整输入信号各频率分量的相对大小(幅度)及位置(相mmnhmxnhnxny)()()()()()()()(zXzHzY)()()(zXzYzH位)关系5.1.1理想低通滤波器的选择性()jHecc22低低低高高()jHecc22低低低高高5.1.2相位失真与延时线性相位:不会改变信号的相对位置,时延相同线性相位的效应:时延非线性相位：改变信号的相对位置时延不相同0t0t()Hj||,0||,1)(ccjHnnnhcFsin][()()|()|jHjHjHje0:()LinearPhaseHjt0()Hjt5.2用线性常系数差分方程所表征系统的系统函数一个线性时不变系统也可以用常系数线性差分方程来表示，其N阶常系数线性差分方程的一般形式为若系统起始状态为零，这样就可以直接对上式两端取Z变换，利用Z变换的线性特性和移位特性可得这样就得到系统函数为（5-3）由此看出系统函数分子、分母多项式的系数分别就是差分方程的系数。式（5-3）是两个z-1的多项式之比，将其分别进行因式分解，可得（5-4）式中，z=ck是H(z)的零点，z=dk是H(z)的极点，它们都由差分方程的系数ak和bk决定。因此，除了比例常数b0/a0以外，系统函数完全由它的全部零点、极点来确定。()HjNkMkkkknxbknya00)()(NkMkkkkkzXzbzYza00)()(NkkkMkkkzazbzXzYzH00)()()(NkkMkkzdzcabzH111100)1()1()(但是式（5-3）（或式（5-4））并没有给定H(z)的收敛域，因而可代表不同的系统。这在前面我们说过，差分方程并不惟一地确定一个线性系统的单位脉冲响应是一致的。同一个系统函数，收敛域不同，所代表的系统就不同，所以必须同时给定系统的收敛域才行。而对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆，因而，在Z平面以极点、零点图描述系统函数，通常都画出单位圆以便看出极点是在单位圆内还是位于单位圆外。5.2.1因果性与稳定性因果性:单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统称为因果系统，因此因果系统的系统函数H(z)具有包括z=∞点的收敛域，即(5-5)稳定性:一个线性时不变系统稳定的充分必要条件为h(n)必须满足绝对可和条件，即而Z变换的收敛域由满足的那些z值确定，因此稳定系统的系统函数H(z)必须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆|z|=1，H(ejω)存在。因果稳定系统因果稳定系统是最普遍、最重要的一种系统，它的系统函数H(z)必须在从单位圆到∞的整个Z域内收敛，即(5-6)也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。例5-1已知系统函数为2|z|≤∞求系统的单位脉冲响应及系统性质。解系统函数H(z)有两个极点z1=0.5,z2=2。从收敛域看，收敛域包括∞点，因此系统一定是因果系统。||zRxnnh|)(|nnznh|)(|1||xxRzR111112112111)21(21123)(zzzzzzH但是单位圆不在收敛域内，因此可以判定系统是不稳定的。由于2nu(n)项是发散的，可见系统确实是不稳定的。例5-2系统函数不变，但收敛域不同。求系统的单位脉冲响应及系统性质。解收敛域包括单位圆但不包括∞点，因此系统是稳定的但是非因果的。由系统函数的Z反变换可得由于存在2nu(-n-1)项，因此系统是非因果的。5.2.2逆系统定义:(1)如一个系统不同的输入下，就有不同的输出，则系统是可逆的；如系统是可逆的，那就有一个逆系统存在(2)一个可逆的系统与原系统级联后，输出就会等于输入：令：记H(z)的逆系统)(2)(21)(nununhnn111112112111)21(21123)(zzzzzzH2||21z)1(2)(21)(nununhnn()()()NzHzDzINV1()()()()DzHzHzNz()HzINV()Hz()yn()xn()xn()Hz()xn()yn若，已知，求，正问题；多数情况如此若，已知，求，逆问题；已知系统和输出，求源心电逆问题，脑电逆问题若，已知，求，逆问题；已知输入输出，求系统矿物勘探、地球物理等领域由输出求输出和系统这两种情况都要用到“逆系统”和“反卷积”的概念：如果互为逆系统()xn()hn()yn()yn()hn()xn()yn()xn()hn1()Hz2()Hz12()()()hnhnn12()()1HzHz1()()()BzHzAz2()()()AzHzBz最小相位系统稳定的充要条件1.若系统输入、输出已知，希望求系统调整的参数，使接近等于，则2.若系统输入未知，输出已知，希望求系统调整的参数，使接近等于，则3.若系统输出已知，再知道输入或系统，欲求另一个，可采用反卷积的方法：M依次递推1()Hz()xn()yn2()HzL()xn1()Hz()n()yn2()HzL()xn2()Hz()xn()xn121()()HzHz2()Hz()xn()n12()1()HzHz0()()()()()()(),0knkynxnhnxkhnkxkhnkn(0)(0)(0)(0)(0)(0)yxhxyh(1)(0)(1)(1)(0)(1)[(1)(0)(1)](0)yxhxhxyxhh10()()(0)()()nkynxnhxkhnk(),()()ynhnxndeconv.m5.2.3有理系统函数的单位脉冲响应在第四章讨论了用部分分式展开技术求Z反变换的方法。对于一个N阶的系统函数，它的一般表示式为该系统函数是z-1的有理函数，如果它仅仅具有一阶极点，那么它通常可以展开成如下形式:(5-7)前面一个和式是通过长除法得到的，只有在M≥N时才存在。如假设系统是因果的，则H(z)的收敛域必须是在所有极点的外侧。H(z)对应的单位脉冲响应为(5-8)在线性时不变系统中，分成两类不同的系统：若系统的单位脉冲响应延伸到无穷长，称之为“无限长单位脉冲响应系统”，简写为IIR系统。若系统的单位脉冲响应是一个有限长序列，称之为“有限长单位脉冲响应系统”，简称为FIR系统。从IIR系统的定义可知，若要h(n)为无限长序列，那么在式（5-8）中，至少有一项Akdnku(n)，也即要求H(z)至少有一个非零极点。这只要式（5-7）的分母多项式除a0外至少有一个系数ak≠0，则在有限Z平面就会出现极点，那么这个系统就是IIR系统。如果除a0外全部ak=0(k=1,2,…,N)，则系统就属于FIR系统。这是因为前面已说过，有限长序列h(n)的Z变换H(z)在有限Z平面0|z|∞收敛。也就是说，H(z)在有限Z平面不能有极点，只存在零10()()()()(0)1nkxnynxkhnkhn(),()()ynxnhn10()()()()(0),1nkhnynxkhnkxnNkkkMkkkzazbzH00)(NkkkNMrrrzdAzBzH1101)(NknkkNMrrnudArnBnh10)()()(点。这时系统函数H(z)可表示为(5-9)单位脉冲响应为：(5-10)系统的差分方程：(5-11)系统的差分方程：(5-11)从结构类型来看，IIR系统除a0外至少有一个ak≠0，其差分方程表达式（设a0=1）为(5-12)可以看出，ak≠0，求y(n)时，需将各y(n-k)反馈过来，用-ak加权后和各bkx(n-k)相加，因而有反馈环路，这种结构称为“递归型”结构。也可以看出，IIR系统输出不但和各x(n-k)有关，且和各y(n-k)有关。如果全部ak=0(k=1,2,…,N)，则没有反馈环路，称之为“非递归型”结构。也可以看出，FIR系统的输出只和各输入x(n-k)有关。IIR只能采用递归型结构，FIR系统多采用非递归型，但若用零点、极点互相抵消的办法，则也可采用含有递归结构的电路。例5-3考虑一个因果系统，其输入输出满足差分方程y(n)=0.5y(n-1)+x(n)显然，其系统函数为因系统是因果系统，故其收敛域为|z|0.5。该系统的单位脉冲响应为因h(n)为无限长，故为IIR系统。MkkkzbzH0)(nMnbknbnhnMkk其他00)()(0Mkkknxbny0)()(Mkkknxbny0)()(NkkMkkknyaknxbny10)()()(15.011)(zzH)(5.0)(nunhn例5-4一个FIR系统的单位脉冲响应为则系统函数为(5-13)其零点k=0,1,…,(N-1)z=a处有一极点。假设a是正实数，显然z=a的极点被z=a的零点抵消。若N=8，则极-零点图如图5-1所示。其差分方程为线性卷积，即(5-14)从式（5-12）最右边的H(z)表示式可得另一种形式的差分方程y(n)-ay(n-1)=x(n)-aNx(n-N)（5-15）式（5-14）和式（5-15）是两种等价的差分方程，因为它们是从两个等价的系统函数H(z)得来的。(图5-1)例5-4的极-零点图观察式（5-7）可以发现，一个N阶的系统函数H(z)完全可以用它在Z平面上的零、极点确定。由于H(z)在单位圆上的Z变换即是系统的频率响应，因此系统的频率响应也完全可以由H(z)的零、极点确定。频率响应的几何确定法实际上就是利用H(z)在Z平面上的零、极点，采用几何方法直观、定性地求出系统的频率响应。式（5-7）已表示出H(z)的因式分解，即用零、极点表示为(5-16)nNnanhn其他0)1(0)(10111)(NnNNnnazzazazHNkjkaez/210)()(NkkknxanyoRe[z]jIm[z]Z平面(N－1)阶NkkMkkMNNkkMkkdzczzabzdzcabzH11)(00111100)()()1()1()(假设M=N，这时用z=ejω代入，即得系统的频率响应为(5-18)在Z平面上，ejω-ck可以用一根由零点ck指向单位圆上ejω点的向量Ck来表示Ck=ejω-ck同样，ejω-dk可以由极点dk指向单位圆上ejω的向量Dk来表示D