数字电子技术基础第二章1-2课时

教案第课时教学课型：理论课√实验课□习题课□实践课□技能课□其它□课题：①§2.1控制系统的微分方程教学目的要求：①了解微分方程的建立；②掌握线性微分方程的求解方法；③掌握拉氏变换求解系统微分方程或方程组的方法；教学重点：1、微分方程的建立步骤；2、线性微分方程的求解方法；教学难点：拉氏变换求解系统微分方程或方程组的方法教学方法和教学手段：教学方法：讲授教学手段：板书与多媒体相结合讨论、思考题、作业：课后习题：参考资料：①《自动控制原理》胡寿松编科学出版社第二章控制系统的数学模型§2.1控制系统的微分方程§2.2传递函数§2.3动态结构图与梅逊公式§2.4控制系统的几种常见传递函数§2.5数学模型的MATLAB变换主要内容1、数学模型的概念及种类。2、系统微分方程的列写与求解。3、非线性微分方程的线性化。4、传递函数的概念及典型环节的传递函数。5、动态结构图及其等效变换。6、信号流图与梅逊公式及其应用。7、KG..E.n.en等概念及求取。8、脉冲响应函数及其应用。重点1、系统微分方程的列写2、传递函数的概念及典型环节的传递函数3、由动态结构图或信号流图求传递函数4、用梅逊公式求传递函数4、KG..E.n.en等概念及求取难点微分方程的列写与求各种传递函数§2.1控制系统的微分方程引言：为使其设计的系统能满足要求，须对系统的过度过程在理论上进行分析，掌握其内在规律。为此将系统的过度过程用一个反映其运动状态的方程式表达出来，再加以分析和计算，即为建模。它是分析、设计控制系统的第一步。要从理论上定性和定量的分析、计算系统的控制性能，必须首先建立描述系统动态关系的数学模型。控制系统的数学模型是指描述系统或元件输入量、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，而把描述各变量动态关系的数学表达式称为动态模型。常用的动态数学模型有微分方程、传递函数及动态结构图。建立数学模型，可以使用解析法和实验法：解析法：根据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列写出各变量间的数学表达式，从而建立起数学模型的方法。实验法：对实际系统或元件加入一定形式的输入信号，根据输入信号与输出信号间的关系来建立数学模型的方法。模型—客观实际物体的代表。如电机模型，机械零件模型等。几何模型—几何尺寸放大或缩小。（如建筑物预先做的模型）模拟模型—物质相似的量间的模拟。如电气模拟机械，也叫物理模型。数学模型—用数学表达式描述系统的一种模型。描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间的关系的代数方程。静态数学模型—在静态条件下（即变量各阶导数为0），描述变量之间关系的代数方程。动态数学模型—描述诸变量动态关系得数学表达式。常用的动态数学模型：微分方程、差分方程、状态方程、传递函数、动态结构图、信号流图、脉冲响应函数、频率特性等。用数学表达式描述自控系统，首先须建立一个合理的数学模型，准确性和简化性之间应全面考虑，在误差允许的条件下，尽量简化数学模型。2.1.1系统微分方程的建立解析法建立微分方程的一般步骤是：①根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出量；②从输入端开始，按照信号的传递时序及方向，根据各变量所遵循的物理、化学定律，列写出变化（运动）过程中的微分方程组；③消去中间变量，得到只包含输入、输出量的微分方程；④标准化工作:将与输入有关的各项放在等号的右侧，即将与输出有关的各项放在等号的左侧，并按照降幂排列。⑤最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。例1．试列写图示的RC无源网络的微分方程。根据电路理论的克希霍夫定律，列写方程idtCRiUr1idtCUC1其中i为中间变量，Ur为输入量，Uc为输出量，消去中间变量得：UrUcdtdUcRC令RC=T（时间常数），则有：UrUcdtdUcTRC无源网络的动态数学模型为一阶常系数线性微分方程。例2．R-L-C电路，iu为输入，cu为输出列微分方程。解：rcuuRidtdiLdtduCiidtCucc1，22dtudCdtdic故rcccuudtduRCdtudLC22—二阶微分方程令RCTRLT21,均为时间常数。则有rcccuudtduTdtudTT22221例3.枢控他励直流电机，输入---au，输出---。nn30602解：aaaaauEdtdiLiR----(1)LRirucueCE及amiCM，且电机轴上的动力学方程为：cMMfdtdJ其中J----转动惯量，f----粘性摩擦系数。实际分析中常忽略阻尼力矩f，∴cMMdtdJ∴mcmacamCMdtdCJiMdtdJiC-------(2)则dtdMCdtdCJdtdicmma122-------（3）将(2)、(3)式代入(1)式中有：cmacmaaemamaMCRdtdMCLuCdtdCJRdtdCJL22即cemacmaaemaemaMCCRdtdMCLuCdtdCJRdtdCCJL122令aaaRLT-------电枢回路的电磁时间常数emamCCJRT--------电枢回路的机电时间常数JTKCKmmeu,1为传递系数故有)(22ccamaummaMdtdMTKuKdtdTdtdTT2.1.2线性微分方程的求解建立微分方程的目的之一是用数学方法定量研究系统的工作特性，给出r(t)，分析c(t)，也就是解微分方程。可用经典法、拉氏变化法或计算机求解。其中拉氏变化法可将微积分运算代数运算，且可查表，简单实用。1、拉氏变换定义2、拉氏变换的几个基本定理例题：已知Atf)(，求F(s)。这里A是常数。解：因为A是常数，所以，根据线性定理则有sAtALtALsF)](1[)](1[)(例题：已知ttf)(，求F(s)。解：根据实域位移定理则有2)](1)[()(settLsFs例题：已知tetftsin)(，求F(s)。解：根据复域位移定理则有22)(]sin[)(steLsFt3、几种典型函数/的拉氏变换4、拉氏变换的逆运算jjstdsesFjsFLtf)(21)]([)(1称为拉氏反变换，该式是拉氏反变换的数学定义，而在实际应用中常常采用的方法是：①先将F(s)分解为一些简单的有理分式函数之和，这些函数基本上都是前面介绍过的典型函数形式；②然后由拉氏变换求出其反变换函数，即原函数f(t)。设F(s)的一般表达式为(通常都是s的有理分式函数)nnnnmmmmasasasbsbsbsbsAsBsF1111110......)()()(（2-41）式中的a1、a2...an以及b1、b2...bm为实数，m、n为正数，且mn。根据上式分母的根，分为以下两种情况来讨论1))(sF中分母A(s)具有不同的根),....,2,1(nipi，式（2-41）可以展开为niiipsCsF1)(系数求法：)(limsFpsCipsii或者ipsisAsBC)()(由拉氏反变换得到原函数的时域表达式nitpiniiiieCpsCLsFLtf1111][)]([)(2)A(s)=0有重根F(s)=Cm/(s-s1)m+Cm-1/(s-s2)m-1+…+C1/(s-s1)+…+Cn/(s-sn)其中重根系数Cm=lim(s-si)mF(s)，Cm-1=limd[(s-si)mF(s)]/ds，……，Cm-j=(1/j!)limdj[(s-si)mF(s)]/dsj，……，C1=[1/(m-1)!]limdm-1[(s-si)mF(s)]/dsm-1其他无重根情况同前。将各系数代入F(S)式对各项进行拉氏反变换即可【例题2-10】：已知：345)(2ssssF，求其拉氏反变换。解：将F(s)进行因式分解后得到13)1)(3(5)(21sCsCssssF接下来是确定两个待定系数，115)()3(limlim331sssFsCss235)()1(limlim112sssFsCss这时有1231)1)(3(5)(ssssssF将上式进行拉氏反变换得到tteetf32)(【例题2-13】：已知：)3()1(2)(2sssssF，求原函数)(tf解：将F(s)进行因式分解后得到31)1()(43122sCsCsCsCsF32)3()1(2)(2003limlimssssFsCss121)1(2)()3(2334limlimssssFsCss21)3(2)()1(limlim111212ssssFsCss43])3(2[)]()1[(limlim111211sssdsdsFsdsdCss将所求得的系数代入F(s)中311211321143)1(121)(2sssssF这时将上式进行反拉氏变换得到ttteetetf3121324321)(5、用拉氏变换求解系统微分方程或方程组步骤如下：①将系统微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的变换方程；②解出变换方程，即求出被控量的拉氏变换表达式；③将被控量的象函数展开成部分分式表达式；④对该部分分式表达式进行拉氏反变换，就得出微分方程的解，即被控量的时域表达式。【例题2-15】：已知系统微分方程为)(2222txdtdxdtxdcccXc在t=0时刻的各阶导数均为零。求系统的输出Xc(t)。解：对该系统的微分方程进行拉氏变换得到12)(2)(2cccXssXsXs输出量的拉氏变换表达式为1)1(1221)(22ssssXc所以使用复域位移定理求出系统的输出为tesXLtxtccsin)()(1【小结】：1、本次课主要讲了系统微分方程的建立、线性微分方程的求解、拉氏变换及其反变换；【课后记】：