高一数学必修1知识点总结

高中数学必修1知识点第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用；第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用；第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。第一章集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性3、集合的表示：（Ⅰ）列举法：（Ⅱ）描述法：4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）N；正整数集N*或N+；整数集Z；有理数集Q；实数集R5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA6、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系集合相等，子集，真子集，空集等定义规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1．交集、并集、全集与补集的定义2.性质：A∩A=A，A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪A.⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U(4)(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(5)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)二、函数的有关概念1．函数的概念：(看课本)注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同(两点必须同时具备)函数图像A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换Ⅰ、对称变换:（1）将y=f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5（2）y=f(x)和y=f(-x)的图象关于y轴对称。如1xxxyayaa与（3）y=f(x)和y=-f(x)的图象关于x轴对称。如1logloglogaaayxyxx与Ⅱ、平移变换:由f(x)得到f(xa)左加右减；由f(x)得到f(x)a上加下减(3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。4．区间的概念与表示5．映射定义：（看课本）说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6、函数的表示法：解析法；图象法；列表法注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值*分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．*如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)称为f是g的复合函数。7．函数单调性（定义）（1）．增函数注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（或f(x1)＞f(x2)）。（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1任取x1，x2∈D，且x1x2；2作差f(x1)－f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)u=g(x)y=f(u)y=f[g(x)]增增增增减减减增减减减增(C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：复合函数单调性：口诀：同增异减注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.（4）判断函数的单调性常用的结论①函数()yfx与()yfx的单调性相反；②当函数()yfx恒为正或恒有负时，1()yfx与函数()yfx的单调性相反；③函数()yfx与函数()yfxC（C为常数）的单调性相同；④当C0（C为常数）时，()yfx与()yCfx的单调性相同；当C0（C为常数）时，()yfx与()yCfx的单调性相反；⑤函数()fx、()gx都是增（减）函数，则()()fxgx仍是增（减）函数；⑥若()0,()0fxgx且()fx与()gx都是增（减）函数，则()()fxgx也是增（减）函数；若()0,()0fxgx且()fx与()gx都是增（减）函数，则()()fxgx也是减（增）函数；8．函数的奇偶性（定义）偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2确定f(－x)与f(x)的关系；3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.函数奇偶性的性质①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.③若()fx为偶函数，则()()(||)fxfxfx.④若奇函数()fx定义域中含有0，则必有(0)0f.⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数()Fx与一个偶函数()Gx的和（或差）”.如设)(xf是定义域为R的任一函数，则()()()2fxfxFx，()()()2fxfxGx.⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0fx，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.9、函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)10．函数最大（小）值（定义见课本p30页）（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2）利用图象求函数的最大（小）值；（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；第二章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算（这部分初中接触过，要注意分数指数幂的运算）（二）指数函数及其性质0a1a1图像性质定义域R,值域（0，+∞）（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数（3）当x0时,0y1;当x0时,y1（3）当x0时,y1;当x0时,0y1二、对数函数（一）对数（概念）（1）常用对数：以10为底的对数,10loglgNN记为；（2）自然对数：以无理数e为底的对数的对数,loglneNN记为．（3）logaa=1,loga1=0特别地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0对数恒等式：logNaaN（二）对数的运算性质如果a0，a1，M0，N0有：1、2、NMNMaaalogloglog3、loglognnaaMnM（R）注意：换底公式loglglog0,1,0,1,0loglgcacbbbaaccbaa①abbalog1log②loglogloglogabcabcdd③loglogmnaanbbm（二）对数函数（概念）对数函数的图像与性质：对数函数logayx(a0，且a≠1)logMNloglogaaaMN（）0＜a＜1a＞1图像性质定义域：（0，＋∞）值域：R过点(1,0),即当x＝1时,y＝0在(0,+∞)上是减函数在(0,+∞)上是增函数当x1时，y0当x=1时，y=0当0x1时，y0当x1时，y0当x=1时，y=0当0x1时，y0重要结论：在logab中，当a,b同在(0,1)或(1,+∞)内时，有logab0;当a,b不同在(0,1)内，或不同在(1,+∞)内时,有logab0.口诀：底真同大于0（底真不同小于0）.（其中，底指底数，真指真数，大于0指logab的值）3、如图，底数a对函数xyalog的影响。规律:底大枝头低,头低尾巴翘。4考点：Ⅰ、logab,当a,b在1的同侧时,logab0；当a,b在1的异侧时,logab0Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=logaa)进行传递。Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数0，值域求法用单调性。Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa，用y=1去截图象得到对应的底数。Ⅴ、y=ax(a0且a≠1)与y=logax(a0且a≠1)互为反函数，图象关于y=x对称。yyxx00((11,,00))yyxx00((11,,00))（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+∞）上是增函数．特别地，当α1时，幂函数的图象下凸；当0α1时，幂函数的图象上凸；（3）α0时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．3、比较大小：(1