数学-2014届高三决战四统数学试题

1绝密★启用前数学决战四统测(一)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．．1．已知集合1,0,1,02ABxx，则AB▲．2．已知(1)2izi，那么复数z▲.3．从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为▲．4．已知等比数列na中，各项都是正数，且2312,21,aaa成等差数列，则8967aaaa等于▲．5．为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重.根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是▲．6.如图所示的流程图，最后输出的n的值是▲．7.已知向量a，b，满足|a|＝1，|b|＝3，a＋b＝(3，1)，则向量a＋b与向量a－b的夹角是▲．8.如图，正三棱锥P－ABC的所有棱长都为4．点D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，满足PD＝PF＝1，PE＝2，则三棱锥P–DEF的体积是▲．9.在ABC中，3,4,5ABACBC，O点是内心，且12AOABBCuuuruuuruuur，则21▲．10.已知锐角A，B满足tan(A＋B)＝2tanA，则tanB的最大值是▲．11.如图，点FA,分别是椭圆12222byax)0(ba的上顶点（第5题）结束开始P←0n←1P←P＋1n(n＋1)n←n＋1输出nYN（第6题）P＜0.70ABCPDEF第8题图ABFCDOxy第11题图2和右焦点，直线AF与椭圆交于另一点B，过中心O作直线AF的平行线交椭圆于DC,两点，若5,2CDAB则椭圆的离心率为▲.12.已知圆O：221xy，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值是▲.13.已知函数32log,03()1108,333xxfxxxx，若存在实数,,,abcd，满足()()()()fafbfcfd，其中dcba，则abcd取值范围是▲．14.设实数a，x，y，满足x＋y＝2a－1，x2＋y2＝a2＋2a－3，则xy的取值范围是▲．二、解答题：15.（本小题满分14分）设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知C＝π3，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC＝2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA＝α，求PM＋PN的最大值及此时α的取值．（第15题）ABDCMNPαDC1B1A1CBA316.（本小题满分14分）在正三棱柱111ABCABC中，点D是BC的中点，1BCBB．（1）求证：1AC∥平面1ABD；（2）试在棱1CC上找一点M，使1MBAB．17.（本小题满分14分）如图，2014年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30，已知S的身高约为3米（将眼睛距地面的距离按3米处理）(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．MOSNBA418.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为32．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2＋PB2的值与点P的位置无关，求k的值．19.(本题满分16分)设函数2ln1fxxbx.（1）若x=1时，函数fx取最小值，求实数b的值；（2）若函数fx在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（3）若1b，证明对任意正整数n，不等式33311......31211)1(n＜kfnk都成立.20．已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S2n＝3n2an＋S2n－1，an≠0，n≥2，n∈N*．(1)若数列{an}是等差数列，求a的值；(2)确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{an}是递增数列．5数学参考答案一、填空题1．{1}2．1i3．534．3225．406．47．23π8．269．5610．2411.2112．1213．（21,24）14．[114－322，114＋322]二、解答题15.（本小题满分14分）解（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，所以有A＝B或A＋B＝π2．…………………2分又因为C＝π3，得A＋B＝2π3，与A＋B＝π2矛盾，所以A＝B，因此A＝π3．…………………4分（2）由题设，得在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝PC·sin(π－∠PCB)＝2sin[π－(α＋π3)]＝2sin(α＋π3)，α∈(0，2π3).………………6分所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin(α＋π3)＝3sinα＋3cosα＝23sin(α＋π6).………………10分因为α∈(0，2π3)，所以α＋π6∈(π6，5π6)，从而有sin(α＋π6)∈(12，1]，即23sin(α＋π6)∈(3，23]．于是，当α＋π6＝π2，即α＝π3时，PM＋PN取得最大值23．……………14分16．（1）证明：连接1AB，交1AB于点O,连接OD.∵O、D分别是1AB、BC的中点，60°αPNMCDBA（第15题）6∴1AC∥OD．………3分∵1AC平面1ABD，OD平面1ABD，∴1AC∥平面1ABD．………6分（2）M为1CC的中点．………7分证明如下：∵在正三棱柱111ABCABC中，1BCBB，∴四边形11BCCB是正方形．∵M为1CC的中点，D是BC的中点，∴1BBDBCM，………9分∴1BBDCBM，1BDBCMB．又∵112BBDBDB，12CBMBDB，∴1BMBD．………11分∵ABC是正三角形，D是BC的中点，∴ADBC．∵平面ABC平面11BBCC,平面ABC平面11BBCCBC，AD平面ABC，∴AD平面11BBCC．∵BM平面11BBCC，∴ADBM．………13分∵1ADBDD，∴BM平面1ABD．∵1AB平面1ABD，∴1MBAB．………14分17.（本小题满分14分）考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，OMDC1B1A1CBA7在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…（8分）故=（cosα﹣3，sinα+），=（﹣cosα﹣3，﹣sinα+），∴•=（cosα﹣3）（﹣cosα﹣3）+（sinα﹣）（﹣sinα﹣）=11（10分）||•||=×=×==由α∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面818.（本小题满分16分）解（1）由题设可知a＝2，e＝ca＝32，所以c＝3，故b＝1．因此，a＝2，b＝1．…………………2分（2）由（1）可得，椭圆C的方程为x24＋y2＝1．设点P（m，0）（－2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．(ⅰ)若k＝1，则直线l的方程为y＝x－m．联立直线l与椭圆C的方程，即y＝x－mx24＋y2＝1．将y消去，化简得54x2－2mx＋m2－1＝0．解之得x1＝2(2m－1－m2)5，x2＝2(2m＋1－m2)5，从而有，x1＋x2＝8m5，x1·x2＝4(m2－1)5，而y1＝x1－m，y2＝x2－m，因此，∣AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2(x1－x2)2＝2(x1+x2)2－4x1·x2＝452·5－m2，点O到直线l的距离d＝∣m∣2，所以，S△OAB＝12×|AB|×d＝255－m2×|m|，因此，S2△OAB＝425(5－m2)×m2≤425·(5－m2＋m22)2＝1．…………………6分又－2≤m≤2，即m2∈[0，4]．所以，当5－m2＝m2，即m2＝52，m＝±102时，S△OAB取得最大值1．…………………8分(ⅱ)设直线l的方程为y＝k(x－m).将直线l与椭圆C的方程联立，即y=k(x－m)x24＋y2＝1．9将y消去，化简得(1＋4k2)x2－8mk2x＋4(k2m2－1)＝0，解此方程，可得，x1＋x2＝8mk21＋4k2，x1·x2＝4(k2m2－1)1＋4k2．…………………10分所以，PA2＋PB2＝(x1－m)2＋y12＋(x2－m)2＋y22＝34(x12＋x22)－2m(x1＋x2)＋2m2＋2＝m2·(－8k4－6k2＋2)＋(1＋4k2)·(8k2＋8)(1＋4k2)2（*）.…………………14分因为PA2＋PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，所以有－8k4－6k2＋2＝0，解得k＝±12．所以，k的值为±12.…………………16分19.解:（1）由x+1＞0得x＞–1∴f(x)的定义域为(-1，+∞),对x∈(-1，+∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/(1)=0,,022,12)(/bxbxxf解得b=-4.经检验，列表（略），合题意；（2）∵,12212)(2/xbxxxbxxf又函数f(x)在定义域上是单调函数，∴f/(x)≥0或f/(x)≤0在(-1，+∞)上恒成立.若f/(x)≥0，∵x+1＞0，∴2x2+2x+b≥0在(-1，+∞)上恒成立,即b≥-2x2-2x=21)21(22x恒成立,由此得b≥21;若f/(x)≤0,∵x+1＞0,∴2x2+2x+b≤0,即b≤-(2x2+2x)恒成立，因-(2x2+2x)在(-1，+∞)上没有最小值，∴不存在实数b使f(x)≤0恒成立.综上所述，实数b的取值范围是,21.（3）当b=-1时，函数f(x)=x2-ln(x+1)，令函数h(x)=f(x)–x3=x2–ln(x+1)–x3，则h/(x)=-3x2+2x-1)1(31123xxxx，∴当,0x时，h/(x)＜0所以函数h(x)在,0x上是单调递减.又h(0)=0，∴当,0x时，恒有h(x)＜h(0)=0,[