数学21《向量的概念与几何运算》学案(新人教A版必修4)

第1课时向量的概念与几何运算1．向量的有关概念⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．⑶且的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足律和律．⑵求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向．3．实数与向量的积⑴实数与向量a的积是一个向量，记作a．它的长度与方向规定如下：①|a|＝．②当＞0时，a的方向与a的方向；当＜0时，a的方向与a的方向；当＝0时，a．⑵(μa)＝．(＋μ)a＝．(a＋b)＝．⑶共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得．4．⑴平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使得．⑵设1e、2e是一组基底，a＝2111eyex，b＝2212eyex，则a与b共线的充要条件是．例1．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设aAB，bAC，求BE．解：BE＝AE－AB＝41(AB＋AC)－AB＝－43a＋41b变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量CD等于（）A．－BC＋BA21B．－BC－BA21典型例题基础过关ADBCC．BC－BA21D．BC＋BA21解:A例2.已知向量2132eea，2132eeb，2192eec，其中1e、2e不共线，求实数、，使bac．解:c＝λa＋μb21e－92e＝(2λ＋2μ)1e＋(－3λ＋3μ)2e2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9λ＝2，且μ＝－1变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：POPDPCPBPA4证明PA＋PC＝2PO，PB＋PD＝2POPA＋PB＋PC＋PD＝4PO例3.已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若aAB，bAD，试用a、b表示BC和MN．解：连NC，则bADNCbaCNABCNMCMN4141；abNBNCBC21变式训练3：如图所示，OADB是以向量OA＝a，OB＝b为邻边的平行四边形，又BM＝31BC，CN＝31CD，试用a、b表示OM，ON，MN．解:OM＝61a＋65b，ON＝32a＋32b，MN＝21a－61b例4.设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，31(a＋b)三向量的终点在一条直线上？解：设])(31[baabta(∈R)化简整理得：0)31()132(bta∵不共线与ba，∴2123030132tt故21t时，)(31,,babta三向量的向量的终点在一直线上．变式训练4：已知,,,,OAaOBbOCcODdOEe，设tR，如果3,2,acbd()etab，那么t为何值时，,,CDE三点在一条直线上？解：由题设知，23,(3)CDdcbaCEectatb，,,CDE三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CEkCD，即(3)32tatbkakb，BOADCNM整理得(33)(2)tkaktb.①若,ab共线，则t可为任意实数；②若,ab不共线，则有33020tktk，解之得，65t.综上，,ab共线时，则t可为任意实数；,ab不共线时，65t.1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．2．注意O与O的区别．零向量与任一向量平行．3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证AB∥CD，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证AB∥AC即可．4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．小结归纳