数学2直线的倾斜角与斜率(无课后答案)

个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.1个性化教学辅导教案学科:数学任课教师：授课时间：2012年3月10日(星期六)姓名年级高一性别女课题直线的倾斜角与斜率总课时____第_3_课教学目标1.理解和掌握直线的倾斜角和斜率的定义；2.掌握经过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线斜率公式。教学难点重点重点：斜率的概念和斜率公式。难点：对斜率概念的理解。课堂教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________过程【知识点归纳】知识点1直线的倾斜角直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.指出：(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.（定义二）当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤＜180°新疆学案王新敞坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地(从形的方面)表示了直线对x轴正方向的倾斜程度.知识点2直线的斜率倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示.即tank。倾斜角是90的直线没有斜率新疆学案王新敞即k,2不存在。(斜率是从数的方面刻划直线相对于x轴倾斜程度.)指出：（1）角的问题（几何）用角的函数（代数）来研究，为什么选择正切？（只涉及点的坐标，而不涉及距离，很方便。但又有定义域需要讨论的问题，最容易犯错误的地方。）（2）倾斜角和斜率k之间的关系：（单调性的充要结论）（3）强调：k2不成在。凡是在研究直线的任何问题时，一定要讨论斜率的存在与不存在两种情况。（4）两个基本类型：已知倾斜角的值求斜率k的值；已知倾斜角的范围求斜率k的范围。（求范围是难点，强调要画出两个图形，用形数结合的方法处理）个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.2知识点3经过两点),(),,(222111yxPyxP的直线的斜率公式:)(211212xxxxyyk新疆学案王新敞指出：（1）当＝0时，公式显然成立。当2121,yyxx（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝90，没有斜率新疆学案王新敞（即适用范围，公式不包括＝90的情况，再次强调凡是在研究直线的任何问题时，一定要讨论斜率的存在与不存在两种情况。）（2）斜率公式的形式特点，及斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；（3）斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；（即求斜率的第二种方法，还有用向量的观点求斜率。通过直线的方程求斜率，通过直线的位置关系求斜率，等）知识点4两条直线平行的判定：对于两条不重合的直线1l和2l，其斜率分别为1k，2k，有2121//kkll。两条直线垂直的判定：对于两条不重合的直线1l和2l，其斜率分别为1k，2k，有12121kkll。【典例解析】例1已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.POP2P1xyPOP1P2Xy个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.3例2求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角：①)0,2(1P、)3,5(2P；②)3,2(1P、)8,2(2P；③)2,5(1P、)2,2(2P；④)2,1(1P、)4,3(2P；⑤)2,1(1P、)3,(2mP例3（1）已知直线l经过A(2,1),B(1,m2)两点(m∈R)，求直线l的倾斜角的取值范围。（2）已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)两点，求直线l的倾斜角的取值范围。个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.4例4已知三角形的顶点A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC的中点为D，当AD斜率为1时，求m的值及|AD|的长.例5.求经过A(3,m)、B(m2+1,2)两点的直线的斜率k和倾斜角α．例6.直线l过点M(0,2)，N(-3,3m2+12m+11)，求直线l的倾斜角α的范围。个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.5例7.已知A(1,33),B(0,23),求直线AB的斜率及倾斜角.例8.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α=0°；（2）α=60°；(3)α=90°.例9.求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角α.（1）P1(-2,3)，P2(-2,8)；（2）P1(5,-2)，P2(-2,-2).例10.过点P(－1，－1)的直线l与x轴和y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段A的中心，求直线l的斜率和倾斜角.例11.已知点A(-2,3)，B(3,2)，过点P(0,-2)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.6例12.在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线a,b,c,d.例13.求经过点A(-2,0)，B(-5,3)的直线的斜率和倾斜角.例14.若三点A(2,3)，B(3,2)，C(21,m)共线，求实数m的值.例15.已知P（－3，2），Q（3，4）及直线ax+y+3=0.若此直线分别与PQ的延长线、QP的延长线相交，试分别求出a的取值范围.个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.7参考答案例1已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.解:直线AB的斜率k1=71＞0,所以它的倾斜角α是锐角;直线BC的斜率k2=-0.5＜0,所以它的倾斜角α是钝角;直线CA的斜率k3=1＞0,所以它的倾斜角α是锐角.例2求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角：①)0,2(1P、)3,5(2P；②)3,2(1P、)8,2(2P；③)2,5(1P、)2,2(2P；④)2,1(1P、)4,3(2P；⑤)2,1(1P、)3,(2mP解：①1)2(503k，即1tan，,1800135。所以这条直线的斜是－1，倾斜角是.135②斜率不存在，90。③0k，0。④23k，23arctan。（重点：要画出图形，然后分析出结论，注意反正切函数的主值区间）⑤当m=1时，K不存在,α=90°；当m1时，K=11m，α=arctan11m；当m1时，K=11m，α=π+arctan11m。指出：（1）此题要求学生掌握已知直线上的两点的坐标求斜率的问题。（2）此题还要求学生掌握已知斜率求倾斜角的问题，本质是解三角方程。应结合正切函数及反正切函数的知识写出斜率在不同取值范围内所对应的倾斜角表达式：①当0k时，karctan；②当0k时，0；③当0k时，karctan新疆学案王新敞例3（1）已知直线l经过A(2,1),B(1,m2)两点(m∈R)，求直线l的倾斜角的取值范围。（2）已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)两点，求直线l的倾斜角的取值范围。解:（1）因为直线经过A(2,1),B(1,m2)，∴kAB=2112m=1-m2，又∵m∈R，∴kAB∈(-∞,1],∴倾斜角的范围为),2(]4,0[πππ．（2）当cosθ=0时，sin2θ=1-cos2θ=1,此时A，B重合.∴cosθ≠0,∴K=θθcos0sin12=-cosθ∈1,00,1,因此倾斜角的范围是个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.8πππ,434,0。指出：此题是已知斜率的范围求倾斜角范围的问题，它的本质是解简单的三角不等式。难点是含参数，要注意对参数的讨论（关键是讨论的基点是什么。）以及要画出图形，形数结合的观点解题。例4已知三角形的顶点A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC的中点为D，当AD斜率为1时，求m的值及|AD|的长.解：D点的坐标为(-25,22m)，∴kAD=025522m=1.∴m=7.∴D点坐标为(-25,25).∴|AD|=225)255()25(22.例5.求经过A(3,m)、B(m2+1,2)两点的直线的斜率k和倾斜角α．解：当m2+1=3，即m=±2时，斜率k不存在，倾斜角2；当m2+1≠3，即m≠±2时，k=222mm；当tanα=k=222mm≥0，即m-2或2m≤2时，α=arctan222mm；当tanα=k=222mm0时，即-2m2或m2时，α=π-arctan222mm.例6.直线l过点M(0,2)，N(-3,3m2+12m+11)，求直线l的倾斜角α的范围。解：∵k=332111232mm(m2+4m+3)=-3(m+2)2+3≤3。即tanα∈(-∞,3],而(-∞,3]=(-∞,0)∪[0,3]，当tanα(-∞,0)时，由α∈[0,π)，得α∈(,2)；当tanα∈[0,3]时，α∈[0，3]。综上所述，所求直线l的倾斜角α∈[0，3]∪(2,π)。例7.已知A(1,33),B(0,23),求直线AB的斜率及倾斜角.解:kAB=3013233,∵直线倾斜角的取值范围是0°—180°,∴直线AB个性化教学辅导教案BeijingXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.9的倾斜角为60°.例8.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α=0°；（2）α=60°；(3)α=90°.解：(1)∵tan0°=0，∴倾斜角为0°的直线斜率为0.(2)∵tan60°=3，∴倾斜角为60°的直线斜率为3.(3)∵tan90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在.例9.求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角α.（1）P1(-2,3)，P2(-2,8)；（2）P1(5,-2)，P2(-2,-2).解：（1）∵P1P2与x轴垂直，∴直线斜率不存在，倾斜角α=90°.（2）k=tanα=52)2(2=0，∴直线斜率为0，倾斜角α=0°.例10.过点P(－1，－1)的直线l与x轴和y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段A的中心，求直线l的斜率和倾斜角.解：k=-1,倾斜角为43.例11.已知点A(-2,3)，B(3,2)，过点P(0,-2)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.解：(-∞,34)∪(-25,+∞).例12.在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线a,b,c,d.解:设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有：1=00xy,所以x=y.可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1),可作直线a.同理,可作直线b,c,d.例13.求经过点A(-2,0)，B(-5,3)的直线的斜率和倾斜角.解：kAB=)2(503=1，即tanα=-1，又∵0°≤α＜180°，∴α=135°.∴该直线的斜率是-1，倾斜角是135°.例14.若三点A(2,3)，B(3,2)，C(21,m)共线，求实